浙江省宁波市鄞州区2023－2024学年“迎春杯”七年级上学期数学能力测试卷

试卷更新日期：2024-02-02 类型：月考试卷

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一、选择题(每小题3分,共30分)

1. 下列各式运用等式的性质变形，正确的是（）

A、若 $a = b$ ，则 $a + c = b - c$ B、若 $a c = b c$ ，则 $a = b$ C、若 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ ，则 $a = b$ D、若 $(m^{2} - 1) a = (m^{2} - 1) b$ ，则 $a = b$

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2. 下列说法：①在所有连结两点的线中，线段最短；②连接两点的线段叫做这两点的距离；③若线段 $A C = B C$ ，则点 $C$ 是线段AB的中点；④经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③ D、①④

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3. 已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示， $a + b < 0$ ，有以下结论：① $b < 0$ ；② $b - a > 0$ ；③ $| - a | > - b$ ；④ $\frac{b}{a} < - 1$ ，则所有正确的结论是（）

A、①④ B、①③ C、②③ D、②④

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4. 如图，线段 $A B = 24 cm$ ， C是 $A B$ 上一点，且 $A C = 15 cm$ ， O是 $A B$ 的中点，线段 $O C$ 的长度是（）

A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm

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5. 如图，直线DE与BC相交于点 $O ， ∠ C O E$ 与 $∠ A O E$ 互余， $∠ B O D = 3 5^{°}$ ，则 $∠ A O E$ 的度数是（）

A、55 B、45 C、35 D、65

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6. 我们知道实数和数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，点 $P$ 是半圆与数轴的交点，则点 $P$ 对应的实数为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、2.4 D、2.5

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7. 要使多项式 $2 x^{2} - 2 (7 + 3 x - 2 x^{2}) + m x^{2}$ 化简后不含 $x$ 的二次项，则 $m$ 的值是（）

A、2 B、0 C、-2 D、-6

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8. 满足 $| a b | + | a - b | - 1 = 0$ 的整数对（a，b）共有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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9. 张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）

欲购买的商品	原价（元）	优惠方式
一件衣服	420	每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券
一双鞋	280	每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券
一套化妆品	300	付款时可以使用购物券，但不返购物券

A、500元 B、600元 C、700元 D、800元

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10. 对于任意一个正整数x_i可以按规则生成无穷数串： $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， ⋯ ， x_{n} ， x_{n + 1} ， ⋯$ (其中 $n$ 为正整数)，规则为： $x_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x_{n} (当 x_{n} 为偶数) \\ 3 x_{n} + 1 (当 x_{n} 为奇数) \end{array}$ .下列说法：
①若 $x_{1} = 4$ ，则生成的这数串中必有 $x_{i} = x_{i + 3}$ (i为正整数)；
②若 $x_{1} = 6$ ，则 $x_{2024} = 2$ ；
③若生成的数中有一个 $x_{i + 1} = 16$ ，则它的前一个数 $x_{i}$ 应为32；
④若 $x_{4} = 7$ ，则 $x_{1}$ 的值只能是9.
其中正确的个数是（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每小题4分,共24分）

11. 4的平方根是

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12. 已知 $∠ 1 = 12.3 0^{°} ， ∠ 2 = 1 2^{°} 3 0^{^{'}}$ ，比较这两个角的大小，结果为 $∠ 1$ $∠ 2$ .(填“>”，“<”或“=”)

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13. 已知 $x = - 5 - y$ ， $x y = 2$ ，计算 $3 x + 3 y - 4 x y$ 的值为.

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14. 如图，在边长为9cm的正方形ABCD中，放置两张大小相同的正方形纸板，边EF在AB上，点K，I分别在BC，CD上，若区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大6cm，则正方形纸板的边长为 $c m$ .

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15. 如图①，点 $C$ 在线段AB上，图中共有三条线段：线段AB，线段AC，线段CB，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点 $C$ 为线段AB的“奇分点”.若 $A B = 30 c m$ ，如图②，点 $M$ 从点 $B$ 开始以每秒3cm的速度向 $A$ 运动，当点 $M$ 到达 $A$ 点时停止运动，运动的时间为 $t$ 秒.当 $t =$ 秒， $M$ 是线段AB的“奇分点”（写出一种情况即可），如果同时点N从点 $A$ 的位置开始以每秒2cm的速度向点 $B$ 运动，如图③所示，并与 $M$ 点同时停止，则当 $t =$ 秒， $M$ 是线段AN的“奇分点”.

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16. 三个三位数 $\bar{a b b} ， \bar{b a b} ， \bar{b b a}$ 由数字a，b组成，它们的和是2331，则 $a + b$ 的最大值是.

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三、解答题(共46分)

17. 如图，点 $C$ 是线段AB的中点，点 $D$ 在 $A B$ 上，且 $A D = \frac{1}{3} A B$ .

(1)、若 $A D = 6$ ，求线段CD的长；

(2)、CD=2，求线段AB的长.

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18. 美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4000元保底，每送一单外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元。小张是一名专职美团骑手，小李是一名兼职美团骑手.

(1)、若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单外卖.

(2)、根据国家个人所得税率标准，月工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如下表所示：
级数工资范围税率
1 不超过 5000 元 0%
2 超过 5000 至不超过 8000 的部分 3%
3 超过 8000 至不超过 17000 的部分 10%
… … …
如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外

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19. 阅读与理解：对一个关于x的多项式求导数，多项式中xn的导数等于 $n x^{n - 1}$ ，常数项的导数为0.已知 $a x^{2} + b x + c$ 是关于 $x$ 的多项式，记为 $P (x)$ .我们规定： $P (x)$ 的导出多项式为 $2 a x + b$ ，记为 $Q (x)$ .例如：若 $P (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ ，则 $P (x)$ 的导出多项式 $Q (x) = 2 \times 3 x - 2 = 6 x - 2$ ；若 $P (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (2 x - 1)$ ，要求 $P (x)$ 的导出多项式，先化简 $P (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$ ，则 $P (x)$ 的导出多项式 $Q (x) = 3 \times 4 x^{2} - 2 \times 3 x + 4 = 12 x^{2} - 6 x + 4$ .根据以上材料，回答问题：

(1)、若 $P (x) = x^{2} + 4 x + 3$ ，则它的导出多项式 $Q (x) =$ .

(2)、设 $Q (x)$ 是 $P (x)$ 的导出多项式
①若 $P (x) = 4 x^{2} + 3 (9 x - 5)$ ，求关于 $x$ 的方程 $Q (x) = 3$ 的解；
②已知 $P (x) = (a - 1) x^{2} - 8 x + 7$ 是关于 $x$ 的二次多项式，且关于 $x$ 的方程 $Q (x) = - 2 x$ 的解为整数，求正整数 $a$ 的值.

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20. 如图1，已知 $∠ A O B = 120 °$ ，射线 $O P$ 从 $O A$ 位置出发，以每秒 $2 °$ 的速度按顺时针方向向射线 $O B$ 旋转；与此同时，射线 $O Q$ 以每秒 $4 °$ 的速度，从 $O B$ 位置出发按逆时针方向向射线 $O A$ 旋转，到达射线 $O A$ 后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线 $O P$ 与射线 $O B$ 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）.

(1)、当 $t = 5$ 时，求 $∠ P O Q$ 的度数；

(2)、当 $O P$ 与 $O Q$ 重合时，求 $t$ 的值；

(3)、如图2，在旋转过程中，若射线 $O C$ 始终平分 $∠ A O Q$ ，问：是否存在 $t$ 的值，使得 $∠ P O Q = ∠ C O Q ?$ 若存在，请直接写出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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级数	工资范围	税率
1	不超过 5000 元	0%
2	超过 5000 至不超过 8000 的部分	3%
3	超过 8000 至不超过 17000 的部分	10%
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