广东省韶关市翁源县2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-02-02 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列四幅图中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知三角形的三边长分别为 $4 ， 5 ， x$ ，则 $x$ 可能是（）

A、9 B、12 C、7 D、1

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3. 如图，△OCA≌△OBD，AO＝3，CO＝2，则AB的长为（）

A、1 B、3 C、4 D、5

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4. 若一个 $n$ 边形的内角和为 $900 °$ ，则 $n$ 的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，利用尺规在 $B C 、 B A$ 上分别截取 $B D 、 B E$ ，使 $B D = B E$ ；分别以 $D 、 E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作圆弧，两弧交于点 $O$ ；作射线 $B O$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．若 $C F = 2$ ，点 $P$ 是 $A B$ 上的动点，则 $F P$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、无法确定

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6. 在平面直角坐标系中，点 $A (3 ， 4)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 3 ， 4)$ B、 $(- 3 ， - 4)$ C、 $(4 ， - 3)$ D、 $(3 ， - 4)$

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7. 下列运算正确的是（）

A、 $a + 2 a = 3 a^{2}$ B、 ${(a^{4})}^{2} = a^{6}$ C、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ D、 $2 a^{3} - a^{3} = 2$

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8. 下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（）

A、 $(m - n) (- m - n)$ B、 $(- x + y) (x - y)$ C、 $(- 1 + m n) (1 + m n)$ D、 $(2 a - b) (2 a + b)$

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9. 平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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10. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，直角 $∠ E P F$ 的顶点P是 $B C$ 的中点，两边 $P E$ 、 $P F$ 分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点E、F.以下四个结论：① $A E = C F$ ；② $△ E P F$ 是等腰直角三角形；③ $S_{四边形 A E P F} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ；④ $E F = A P$ .其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 若 $a \neq 2$ ，则 $(a - 2)^{0} =$ ．

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12. 如图，在△ABC中，AB＝AC ， AD⊥BC于点D ，若BC＝6，则CD＝．

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13. $(6 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2}) \div 2 x^{2} =$ ．

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14. 外角和与内角和相等的多边形是．

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15. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，已知跷跷板的支点 $O$ （即跷跷板的中点）至地面的距离是 $48 c m$ ，当小红从水平位置 $C D$ 下降 $28 c m$ 时，这时小明离地面的高度是 $c m$ ．

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16. 观察规律并填空．（1） $(1 - \frac{1}{2^{2}}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ ；
（2） $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ ；
（3） $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{8}$ ；
（4） $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) (1 - \frac{1}{5^{2}}) ⋯ ⋯ (1 - \frac{1}{n^{2}}) =$ （用含n的代数式表示，n是正整数，且 $n \geq 2$ ）

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三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， $△ A B C$ 的三个顶点 $A ， B ， C$ 都在格点上．在图中画出与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴成轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

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18. 化简： $(2 x - 3) (2 x + 3) - (2 x - 1)^{2}$

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19. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2 ， A C = A D$ ，求证： $∠ 3 = ∠ 4$ ．

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20. 如图，已知 $△ A B C$ ．

(1)、用尺规作图方法作 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $C E$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、若 $A D = 3 ， △ B C E$ 周长为13，求 $△ A B C$ 的周长．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $P$ ．

(1)、若 $∠ A B C + ∠ A C B = 130 °$ ，求 $∠ B P C$ 的度数．

(2)、当 $∠ A$ 为多少度时， $∠ B P C = 3 ∠ A$ ？

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22. 如图，在Rt $△ A B C$ 与Rt $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $A B = A C ， A D = A E ， B D$ 与 $C E$ 相交于点 $F$ ．
求证： $B D ⊥ C E$ ．

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23. $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 是三角形外一动点， $B D$ 交 $A C$ 于O，满足 $∠ A D B = 60 °$

(1)、如图①，当 $D$ 点在 $A C$ 的垂直平分线上时，求证： $D A + D C = D B$ ；

(2)、如图②，当D点不在 $A C$ 的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

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24. 结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．

(1)、如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是．

(2)、我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若 $x$ 满足 $(2 - x) (x - 5) = 1$ ，可设 $2 - x = a$ ， $x - 5 = b$ ，则 $a b = 1 ， a + b = - 3$ ．则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

(3)、如图3，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $x ， E ， F$ 分别是 $A D 、 D C$ 上的点，且 $A E = 1 ， C F = 3$ ，长方形 $E M F D$ 的面积是24，分别以 $M F 、 D F$ 为边作正方形，求阴影部分的面积．

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25. 如图，等腰Rt $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C$ ，点 $A 、 B$ 分别在坐标轴上。

(1)、如图1，若点 $C$ 的横坐标为5，求点 $B$ 的坐标；

(2)、如图2，若 $x$ 轴恰好平分 $∠ B A C ， B C$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，求 $\frac{C D}{A M}$ 的值；

(3)、如图3，若点 $A$ 的坐标为 $(- 6 ， 0)$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上运动时，分别以 $O B 、 A B$ 为边在第一、第二象限作等腰 $R t △ O B F$ 、等腰 $R t △ A B E$ ，连接 $E F$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，当点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上移动时，直接写出 $P B$ 的值．

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