湖北省随州市随县2023-2024学年九年级上册联考数学试题

试卷更新日期：2024-02-02 类型：期末考试

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一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计33分．）

1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $(2 ， - 3)$ ，则它的图象也一定经过的点是（）

A、 $(- 2 ， - 3)$ B、 $(- 3 ， - 2)$ C、 $(1 ， - 6)$ D、 $(6 ， 1)$

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3. 下列事件中，属于随机事件的有（）
①任意画一个三角形，其内角和为360°；
②投一枚骰子得到的点数是奇数；
③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
④从日历本上任选一天为星期天．

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④

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4. 关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（）

A、－3 B、－6 C、3 D、6

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，已知 $∠ A D C = 145 °$ ，则 $∠ A O C$ 的大小是（）

A、 $75 °$ B、 $100 °$ C、 $70 °$ D、 $60 °$

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6. 在平面直角坐标系中，如果抛物线 $y = 3 x^{2}$ 不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（　　）

A、 $y = 3 {(x - 5)}^{2} + 5$ B、 $y = 3 {(x - 5)}^{2} - 5$ C、 $y = 3 {(x + 5)}^{2} + 5$ D、 $y = 3 {(x + 5)}^{2} - 5$

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7. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=（）

A、80° B、85° C、90° D、95°

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8. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（）

A、6米 B、8米 C、18米 D、24米

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9. 2024元旦将近，九（3）班数学社团在迎新聚会上，大家长都相互握了一次手互祝新年顺利，经统计所有人一共握了66次手，则这次参加聚会的人数是（）

A、11 B、12 C、22 D、33

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的大致图象为【】

A、 B、 C、 D、

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11. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C A B = 30 °$ ， $B C = 2$ ， O ， H分别为边 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转 $120 °$ 到 $△ A_{1} B C_{1}$ 的位置，则整个旋转过程中线段 $O H$ 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A、 $\frac{7}{3} π - \frac{7}{8} \sqrt{3}$ B、 $\frac{4}{3} π + \frac{7}{8} \sqrt{3}$ C、π D、 $\frac{4}{3} π + \sqrt{3}$

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二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计12分．）

12. 已知a、b、c满足 $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6}$ ， a、b、c都不为0，则 $\frac{a + b}{c - b}$ = ．

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13. 如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．

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14. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴于点C， $A C$ 交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点.若 $Δ P A B$ 的面积为2，则k的值为.

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15. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + x = n$ 有两个不相等的实数根，则抛物线 $y = x^{2} + x - n$ 的顶点在第象限．

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三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．）

16. 请选择适当方法解下列方程：

(1)、 $2 x (x - 3) + x = 3$

(2)、 $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ （公式法）

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17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．

(1)、以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A₁B₁C₁ ．

(2)、画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A₂B₂C．

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18. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．

(1)、在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是．

(2)、在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．

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19. 如图，反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与一次函数 $y_{2} = - x + b$ 的图像在第一象限交于 $A (1 ， 3)$ 、 $B (3 ， n)$ 两点．

(1)、则 $k =$ ， $b =$ ， $n =$

(2)、观察图像，请直接写出满足 $y_{1} \geq y_{2}$ 的取值范围．

(3)、若Q为y轴上的一点，使 $Q A + Q B$ 最小，求点Q的坐标．

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20. 临近春节，随州特产“泡泡青”已经上市，今年万达永辉超市以每件25元的进价购进一批“泡泡青”，当售价为40元时，十月份销售256件，十一、十二月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，十二月份的销售量达到400件．

(1)、求十一、十二这两个月销售量的月平均增长百分率．

(2)、经市场预测，2024年一月份的销售量将与十二月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，超市一月份可获利4250元？

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21. 如图， $B E$ 是圆 $O$ 的直径，A在 $E B$ 的延长线上， $∠ A O D = ∠ A P C$ ，弦 $P D$ 垂直于 $B E$ 于点 $C$ ．

(1)、求证： $A P$ 为圆 $O$ 的切线；

(2)、若 $O C ： C B = 1 ： 2$ ， $A B = 6$ ，求圆 $O$ 的半径及 $\frac{P C}{C E}$ 的值．

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22. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为 $(- \frac{3}{2} ， - 10)$ ．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为 $(1 ， \frac{5}{4})$ ，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．

(1)、求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；

(2)、若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；

(3)、在该运动员入水点的正前方有M ， N两点，且 $E M = \frac{21}{2}$ ， $E N = \frac{27}{2}$ ，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 $y = a （ x - h ）^{2} + k ，$ 且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在 $M N$ 之间（包括M ， N两点），请直接写出a的取值范围．

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23. 问题情境：在学习 $《$ 图形的平移和旋转 $》$ 时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图 $1$ ，点 $D$ 为等边 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上一点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、【猜想证明】试猜想 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系，并加以证明；

(2)、【探究应用】如图 $2$ ，点 $D$ 为等边 $△ A B C$ 内一点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E$ ，若 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 三点共线，求证： $E B$ 平分 $∠ A E C$ ；

(3)、【拓展提升】如图 $3$ ，若 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，点 $D$ 是线段 $B C$ 上的动点，将线段 $A D$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $D E$ ，连接 $C E .$ 点 $D$ 在运动过程中， $△ D E C$ 的周长最小值 $=$ $($ 直接写答案 $)$ ．

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24. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 和 $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C (0 ， - 2)$ ，对称轴为直线 $x = \frac{5}{4}$ ，连接 $B C$ ，在线段 $B C$ 上有一动点 $P$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交二次函数的图象于点 $N$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ．

(1)、求抛物线与直线 $B C$ 的函数解析式；

(2)、设点 $M$ 的坐标为 $(m ， 0)$ ，求 $△ P C N$ 面积的最大值；

(3)、若点 $P$ 在线段 $B C$ 上运动，则是否存在这样的点 $P$ ，使得 $△ C P N$ 与 $△ B P M$ 相似，若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标，若不存在，请写出理由．

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