广东省茂名市高州市十二校联考2023-2024学年八年级上学期（15周）月考数学试题

试卷更新日期：2024-02-02 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列各组数中，是勾股数的是（）

A、1，2，3 B、5，12，13 C、0.3，0.4，0.5 D、4，6，8

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2. 49的平方根是（）

A、 $\pm 7$ B、7 C、 $- 7$ D、不存在

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3. 点 $M (- 5 ， 2)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 5 ， - 2)$ B、 $(5 ， - 2)$ C、 $(5 ， 2)$ D、 $(- 5 ， 2)$

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4. 下列各点在直线 $y = - 2 x + 1$ 上的是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(2 ， 3)$

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5. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x} + 2$ B、 $y = 5 - 3 x$ C、 $y = 2 x^{- 1}$ D、 $y = - 6 x^{2} + 4$

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6. 下列计算，正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{8} \div \sqrt{4} = 2$ D、 $2 \sqrt{7} \times 3 \sqrt{7} = 6 \sqrt{7}$

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7. 下列函数图象中，表示直线 $y = x - 2$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 ${\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases}$ 是方程 $2 x - a y = 3$ 的一个解，那么 $a$ 的值是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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9. 如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为 $(- 2 ， 2)$ 黑棋（乙）的坐标为 $(- 1 ， - 2)$ ，则白棋（甲）的坐标是（）

A、 $(2 ， 2)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6 ， C D ⊥ A B$ 于 $D$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、10 B、 $\frac{48}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{24}{5}$

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二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分．）

11. 计算： $\sqrt[3]{- 64}$ 的值是．

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12. 若 $| a - 2 | + \sqrt{b + 3} + (c - 5)^{2} = 0$ ，则 $a - b + c =$ ．

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13. 已知点 $M$ 到 $x$ 轴的距离为3，到 $y$ 轴距离为2，且在第四象限内，则点 $M$ 的坐标为．

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14. 在一次函数 $y = - 2 x + 5$ 图象上有 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $A (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>，<或=”）．

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15. 把两个同样大小的含 $45 °$ 角的三角尺按如上图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 $A$ ，且另三个锐角顶点 $B ， C ， D$ 在同一直线上，若 $A B = \sqrt{2}$ ，则 $C D =$ ．

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三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

16. 化简： $\sqrt{12} + | 3 - \sqrt{3} | + (2023 - π)^{0} - \frac{\sqrt{8} \times \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$

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17. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - y = 5 ① \\ 3 x - y = - 1 ② \end{array}$

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18. 如图，实数 $a ， b ， c$ 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} + | b - a | - \sqrt[3]{(a + b)^{3}} - \sqrt{(b - c)^{2}}$ 的结果．

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四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

19. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线， $C D = 6 c m ， B D = 10 c m$ ，求 $A C$ 的长．

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20. 在平面直角坐标系中，已知点 $M (2 - m ， 1 + 2 m)$ ．

(1)、若点 $M$ 在 $y$ 轴上，求 $M$ 点的坐标；

(2)、若点 $M$ 在第二、四象限的角平分线上，求 $M$ 点的坐标．

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21. 已知点 $A (a + 1 ， 3 b)$ 和点 $B (2 b + 3 ， 1 - a)$ 关于 $x$ 轴对称，求 $\frac{2}{\sqrt{a + 2 b} - 2}$ 的值．

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五、解答题（三）（本大题2小题，每小题8分，共16分）

22. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 各顶点都在小方格的格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各顶点的坐标；

(2)、在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使得 $P A + P B_{1}$ 最短，画出图形，直接写出 $P A + P B_{1}$ 的最小值，并求出 $P$ 点坐标．

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23. 综合与实践
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长 $25 π$ 的云梯 $A B$ ，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离 $B C = 7 π ， ∠ D C E = 90 °$ ．

(1)、【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到 $A^{'}$ 位置上（云梯长度不改变）， $A A^{'} = 4 m$ ，那么它的底部B在水平方向滑动到 $B^{'}$ 的距离 $B B^{'}$ 也是 $4 π$ 吗？若是，请说明理由；若不是，请求出 $B B^{'}$ 的长度．

(2)、【问题解决】在演练中，高 $24 π$ 的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 $\frac{1}{5}$ ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达 $24 π$ 高的墙头去救援被困人员？

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六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分）

24. 直线 $A B ： y = - x + b$ 分别与 $x ， y$ 轴交于 $A (8 ， 0) 、 B$ 两点，过点 $B$ 的直线交 $x$ 轴轴负半轴于 $C$ ，且 $O B ： O C = 4 ： 3$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标为；

(2)、求直线 $B C$ 的解析式；

(3)、动点 $M$ 从 $C$ 出发沿射线 $C A$ 方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设 $M$ 运动 $t$ 秒时，当 $t$ 为何值时 $△ B C M$ 为等腰三角形．

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25. 定义：我们把一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与正比例函数 $y = x$ 的交点称为一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的“不动点”．例如求 $y = 2 x - 1$ 的“不动点”；联立方程 ${\begin{cases} y = 2 x - 1 \\ y = x \end{cases}$ ，解得 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ ，则 $y = 2 x - 1$ 的“不动点”为 $(1 ， 1)$ ．

(1)、由定义可知，求一次函数 $y = 3 x + 2$ 的“不动点”．

(2)、若一次函数 $y = m x + n$ 的“不动点”为 $(2 ， n - 1)$ ，求 $m 、 n$ 的值．

(3)、若直线 $y = k x - 3 (k \neq 0)$ 与x轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且直线 $y = k x - 3$ 上没有“不动点”，若 $P$ 点为 $x$ 轴上一个动点，使得 $S_{△ A B P} = 3 S_{△ A B O}$ ，求满足条件的 $P$ 点坐标．

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