湖北省咸丰县城区四校联考2023-2024学年九年级上册期中数学试题

试卷更新日期：2024-02-02 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的，请将正确选项填涂在答题卷的相应位置）

1. 将一元二次方程 $3 x^{2} + 1 = 6 x$ 化为一般形式后，常数项为 $1$ ，二次项系数和一次项系数分别为（）

A、 $3$ ， $1$ B、 $3$ ， $6$ C、 $3$ ， $- 6$ D、 $3 x^{2}$ ， $- 6 x$

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2. 二次函数 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 4$ ，下列说法正确的是（）

A、开口向上 B、对称轴为直线 $x = 1$ C、顶点坐标为 $(- 1 ， - 4)$ D、当 $x < - 1$ 时，y随x的增大而减小

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3. 把抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线是（）

A、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 3$ B、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ C、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ D、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 3$

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4. 若 $A (- 4 ， y_{1})$ ， $B (- 3 ， y_{2})$ ， $C (1 ， y_{3})$ 为二次函数 $y = x^{2} + 4 x - 5$ 的图象上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是 $()$ ．

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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5. 在平面直角坐标系中，已知函数 $y = x^{2} + 4 x + 4$ 的图象与坐标轴的交点个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 在同一坐标系内，一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + 8 x + b$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 关于 $x$ 的方程 $a (x + m)^{2} + b = 0$ 的解是 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1 (a ， m ， b$ 均为常数， $a \neq 0)$ ，则方程 $a (x + m + 2)^{2} + b = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = - 4$ ， $x_{2} = - 1$ D、无法求解

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8. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 $y = 2$ ，与二次函数 $y = x^{2}$ ， $y = a x^{2}$ 分别交于A、B和C、D，若 $C D = 2 A B$ ，则a为（）

A、4 B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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9. 如图，等腰直角 $△ A B C$ 的斜边长为4，点D从点A出发，沿 $A \to C \to B$ 的路径运动，过D作AB边的垂线，垂足为G，设线段AG的长度为x， $R t △ A G D$ 的面积为y，则y与关于x的函数图象，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 部分图象如图所示，顶点坐标为 $(2 ， 3)$ ，抛物线与x轴的一个交点在点 $(- 4 ， 0)$ 和 $(- 3 ， 0)$ 点之间，下列结论：① $a b c > 0$ ， ② $4 a - b = 0$ ， ③ $b^{2} + 3 b = 4 a c$ ， ④ $a + b + c < 0$ ， ⑤若点 $(- 5 ， n)$ 在二次函数的图象上，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c - n = 0 (a \neq 0)$ 的两个根分别是 $- 5$ ， 1，其中正确的是（）

A、①④⑤ B、②③④ C、②④⑤ D、②③④⑤

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上）．

11. 已知实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $- x^{2} + 3 x = 0$ 的两根，则 $x_{1} x_{2} =$ ；

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12. 若抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ 的形状相同，且经过点 $A (1 ， 0)$ ，则它的解析式为．

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 3) x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是．

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14. 若 $x = 0$ 是一元二次方程 $x^{2} + \sqrt{b - 1} x + b^{2} - 4 = 0$ 的一个根，则 $b$ 的值是．

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15. 若抛物线 $y = x^{2} - b x + 8$ 的顶点在x轴的负半轴上，则b的值是；

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16. 如图，抛物线 $C_{1}$ ： $y = x^{2} - 2 x (0 \leq x \leq 2)$ 交x轴于O，A两点；将 $C_{1}$ 绕点A旋转 $180 °$ 得到抛物线 $C_{2}$ ，交x轴于 $A_{1}$ ；将 $C_{2}$ 绕点 $A_{1}$ 旋转 $180 °$ 得到抛物线 $C_{3}$ ，交x轴于 $A_{2}$ ， …，如此进行下去，则抛物线 $C_{10}$ 的解析式是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）．

17. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} + x - 1 = 0$ ；

(2)、 $2 (x - 3) = 3 x (x - 3)$ ．

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18. 已知二次函数图象经过点 $(0 ， - 3)$ ，且当 $x = - 2$ 时，y有最小值 $- 1$ ，求该二次函数的表达式，并判断点 $P (1 ， 7)$ 是否在此函数图象上．

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19. 已知关于x的方程x²+ax+a﹣2＝0．

(1)、若该方程的一个根为1，求a的值及方程的另一个根；

(2)、二次函数y＝x²+ax+a﹣2的图象与x轴有交点吗？有几个交点？为什么？请说明理由．

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20. 如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地面最大高度为5米时，与点A所在y轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1米．

(1)、求该抛物线的解析式．

(2)、已知人梯 $B C = 3.15$ 米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次表演能否成功（接触到人梯则代表表演成功）？请说明理由．

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21. 直线 $y_{1} = x - 1$ 和抛物线 $y_{2} = x^{2} + b x + c$ 都经过点 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 2)$ ．

(1)、结合图象，方程 $x^{2} + b x + c = x - 1$ 的根为；

(2)、结合图象，不等式 $x^{2} + b x + c > x - 1$ 解集为．

(3)、当 $1 < x < 3$ 时， $y_{2}$ 的取值范围是；

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22. 已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．

(1)、求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)、当一矩形ABCD的对角线长为AC＝ $\sqrt{31}$ ，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．

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23. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．

(1)、求每次下降的百分率．

(2)、若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

(3)、在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？

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24. 如图，已知直线 $y = x + 3$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得 $△ M A B$ 的面积最大？若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？求出符合条件的t的值．

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