浙江省杭州市滨江区重点学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2024-02-02 类型：开学考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 要使二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则 $x$ 的值可以为（）

A、 $- 2$ B、 $4$ C、 $2$ D、 $0$

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2. 把一元二次方程 $(x + 3)^{2} = x (3 x - 1)$ 化成一般形式，正确的是（）

A、 $2 x^{2} - 7 x - 9 = 0$ B、 $2 x^{2} - 5 x - 9 = 0$ C、 $4 x^{2} + 7 x + 9 = 0$ D、 $2 x^{2} - 6 x - 10 = 0$

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3. 反比例函数y＝ $\frac{1}{x}$ （x＜0）的图象位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 将抛物线y=-5x $^{2}$ +1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）.

A、y=-5(x+1)² -1 B、y=-5(x-1)² -1 C、y=-5(x+1)² +3 D、y=-5(x-1)² +3

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5. 点A (m-1，y₁)，B(m，y₂)都在二次函数y=(x-1)²+n的图象上。若y₁<y₂ ，则m的取值范围为（）

A、m>2 B、m> $\frac{3}{2}$ C、m<1 D、 $\frac{3}{2}$ <m<2

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6. 函数y=ax+b和y=ax²+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，两把完全一样的直尺叠放在 $-$ 起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断： $①$ 这个四边形可能是正方形 $②$ 这个四边形一定是菱形 $③$ 这个四边形不可能是矩形 $④$ 这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）

A、 $① ②$ B、 $③ ④$ C、 $① ② ④$ D、 $① ② ③ ④$

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8. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙 $($ 墙足够长 $)$ ，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 $1 m$ 宽的门，已知计划中的材料可建墙体 $($ 不包括门 $)$ 总长为 $27 m$ ，则能建成的饲养室的总面积最大为（）

A、 $75 m^{2}$ B、 $\frac{75}{2} m^{2}$ C、 $48 m^{2}$ D、 $\frac{225}{2} m^{2}$

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 中，E，F是 $C D$ 上的两个点， $E G ⊥ A C$ ， $F H ⊥ A C$ ，垂足分别为G，H，若 $A D = 2$ ， $D E = 1$ ， $C F = 2$ ，且 $A G = C H$ ，则 $E G + F H =$ （）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $\frac{5}{2}$

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10. 已知二次函数 $y = a (x + 1) (x - m) (a$ 为非零常数， $1 < m < 2)$ ，当 $x < - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则下列结论正确的是（）
$①$ 若 $x > 2$ 时，则 $y$ 随 $x$ 的增大而减小； $②$ 若图象经过点 $(0，1)$ ，则 $- 1 < a < 0$ ； $③$ 若 $(- 2023 ， y_{1})$ ， $(2023 ， y_{2})$ 是函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ； $④$ 若图象上两点 $(\frac{1}{4} ， y_{1})$ ， $(\frac{1}{4} + n ， y_{2})$ 对一切正数 $n .$ 总有 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $\frac{3}{2} < m < 2$ ．

A、 $① ②$ B、 $① ③$ C、 $① ④$ D、 $③ ④$

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 若 $m$ 是方程 $2 x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $4 m^{2} - 2 m$ 的值为．

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12. 在二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 中，函数 $y$ 与自变量 $x$ 的部分对应值如下表：

$x$

$- 3$

$- 2$

$- 1$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$y$

$- 14$

$- 7$

$- 2$

$2$

$m$

$n$

$- 7$

$- 14$

$- 23$
则 $m$ 、 $n$ 的大小关系为 $m$ $n . ($ 填“ $<$ ”，“ $=$ ”或“ $>$ ” $)$

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13. 已知抛物线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 关于原点成中心对称，若抛物线 $C_{1}$ 的解析式为 $y = - 3 (x + 2)^{2} - 1$ ，则抛物线 $C_{2}$ 的解析式为．

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14. 已知函数 $y = m x^{2} + 2 x - m + 2$ 的图象与坐标轴只有两个交点，则 $m =$ ．

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15. 如图，将一把矩形直尺 $A B C D$ 和一块含 $30 °$ 角的三角板 $E F G$ 摆放在平面直角坐标系中， $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $G$ 与点 $A$ 重合，点 $F$ 在 $A D$ 上，三角板的直角边 $E F$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过点 $F$ ， $M .$ 若直尺的宽 $C D = 2$ ，三角板的斜边 $F G = 6 \sqrt{3}$ ，则 $k =$ ．

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16. 如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形” $.$ 如图，已知“完美菱形” $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $B D$ 是它的较短对角线，点 $M$ 、 $N$ 分别是边 $A D$ ， $C D$ 上的两个动点，且满足 $A M + C N = 4$ ，设 $△ B M N$ 的面积为 $S$ ，则 $S$ 的取值范围是．

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三、计算题：本大题共1小题，共10分。

17. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A E = C F$ .

(1)、求证：四边形 $E G F H$ 是平行四边形；

(2)、连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，若 $B D = 10$ ， $A E + C F = E F$ ，求 $E G$ 的长.

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四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18. 计算与解方程：

(1)、 $3 \sqrt{8} - (\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}})$ ；

(2)、 $x^{2} - 6 \sqrt{2} x - 3 = 0$

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19. 如图，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 的图象分别与 $y$ 轴， $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，将点 $A$ 先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的点 $C$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上．

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、已知点 $P (m ， n)$ 是该反比例函数图象上一点，当 $n < 6$ 时，请根据图象直接写出横坐标 $m$ 的取值范围．

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20. 已知二次函数 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 6$ ．

(1)、求出该函数图象的顶点坐标，对称轴，图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴的交点坐标，并在所给的坐标系中画出这个函数的大致图象．

(2)、利用函数图象直接写出：
$①$ 当 $y < 0$ 时， $x$ 的取值范围？
$②$ 当 $0 < x < 3$ 时， $y$ 的取值范围？

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21. 篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．

(1)、求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．

(2)、若篮筐离地面3.05m ，离运动员投篮处水平距离为4.2m ，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？

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22. 已知二次函数 $y = a (x - m)^{2} - a (x - m) (a ， m$ 为常数，且 $a \neq 0)$ ．

(1)、求证：不论 $a$ 与 $m$ 为何值，该函数的图象与 $x$ 轴总有两个公共点．

(2)、设该函数的图象的顶点为 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $D$ 点．
$①$ 当 $△ A B C$ 的面积为 $1$ 时，求 $a$ 的值．
$②$ 当 $△ A B C$ 的面积与 $△ A B D$ 的面积相等时，求 $m$ 的值．

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23. 如图，已知在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 为线段 $A C$ 上一点 $($ 点 $E$ 不与 $A$ 、 $C$ 重合 $)$ ，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E .$ 交射线 $B C$ 于点 $F$ ，以 $D E$ 、 $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ．

(1)、求证： $D E = E F$ ；

(2)、连接 $E G$ ，设 $A E = x$ ， $△ E C G$ 的面积为 $y .$ 求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式并写出自变量的取值范围；

(3)、当 $∠ C E F = 20 °$ 时，求 $∠ E F C$ 的度数．

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$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$- 14$	$- 7$	$- 2$	$2$	$m$	$n$	$- 7$	$- 14$	$- 23$