吉林省松原市长岭县2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.
如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 相似，且相似比为 $\frac{2}{3}$ ，那么 $△ D E F$ 和 $△ A B C$ 的面积比为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{4}{9}$

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3. 如图是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第二象限的图象，那么 $k$ 的可能值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4.
如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A B$ 上， $B D = 2 A D$ ， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $B C = 3 D E$ B、 $\frac{B D}{B A} = \frac{C E}{C A}$ C、 $△ A D E ∽ △ A B C$ D、 $S_{△ A D E} = \frac{1}{3} S_{△ A B C}$

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6. 如图，先锋村准备在坡角为 $α$ 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 $5 m$ ，那么这两树在坡面上的距离 $A B$ 为（）

A、 $5 c o s α m$ B、 $\frac{5}{c o s α} m$ C、 $5 s i n α m$ D、 $\frac{5}{s i n a} m$

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二、填空题（每小题3分，共24分）

7. 在 $△ A B C$ 中，若 $| s i n A - 1 | + {(\frac{\sqrt{3}}{2} - c o s B)}^{2} = 0$ ，则 $∠ C =$ .

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8. 反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 关于 $y$ 轴对称的函数的解析式为.

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9. 将两个直角三角形按如图所示方式叠放在一起，则 $\frac{B E}{E C}$ 的值是.

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10. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 $A$ ， $B$ ， $O$ 都在格点上，则 $∠ A O B$ 的正弦值是.

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11. 如图，过原点 $O$ 的直线与反比例函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象在第一象限内分别交于点 $A$ ， $B$ ，且 $A$ 为 $O B$ 的中点，若函数 $y_{1} = \frac{1}{x}$ ，则 $y_{2}$ 与 $x$ 的函数解析式是.

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12. 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为．

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13. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形则该几何体的左视图的面积为 $c m^{2}$ （结果保留根号）.

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14. 小芳的房间有一面积为 $3 m^{2}$ 的玻璃窗，她站在室内离窗子 $4 m$ 的地方向外看，她能看到窗前面一幢楼房的面积有 $m^{2}$ .（楼之间的距离为 $20 m$ ）

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三、解答题（每小题5分，共20分）

15. 在 $△ A B C$ 中， $| c o s ∠ A - \frac{1}{2} | + {(1 - t a n ∠ B)}^{2} = 0$ ，求 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的度数.

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16. 反比例函数 $y = m x^{m^{2} - 5}$ 的图象分别位于第二、四象限，求 $m$ 的值和反比例函数的解析式.

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $c o s ∠ A B C = \frac{3}{5}$ . $D$ 为 $A C$ 上一点，而且 $∠ D B C = 30 °$ ，求 $A D$ 的长.

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18. 如图，一艘轮船从离 $A$ 观察站的正北 $10 \sqrt{3}$ 海里处的 $B$ 港出发向正东航行，观察站第一次测得该船在 $A$ 地北偏东 $30 °$ 的 $C$ 处；半小时后，又测得该船在北偏东 $60 °$ 的 $D$ 处，求此船的速度.

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四、解答题（每小题7分，共28分）

19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $A (\frac{3}{2} ， 2)$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上有一点 $C$ ，过点 $A$ 的直线 $l ⊥ y$ 轴并与 $O C$ 的延长线交于点 $B$ ，且 $O C = 2 B C$ ，求点 $C$ 的坐标.

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20. 在平面直角坐标系中，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为点 $B$ ，点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为点 $C$ .

(1)、若点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ ，请你在给出的坐标系中画出 $△ A B C$ .设 $A B$ 与 $y$ 轴的交点为 $D$ ，则 $\frac{S_{△ A D O}}{S_{△ A B C}} =$ ；

(2)、若点 $A$ 的坐标为 $(a ， b) (a b \neq 0)$ ，则 $△ A B C$ 的形状为.

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21. 如图，将边长为 $6 c m$ 的正方形 $A B C D$ 折叠，使点 $D$ 落在 $A B$ 边的中点 $E$ 处，折痕为 $F H$ ，点 $C$ 落在 $Q$ 处， $E Q$ 与 $B C$ 交于点 $G$ ，求 $△ E B G$ 的周长.

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22. 已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形.

(1)、在图①中画 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使得 $△ A_{1} B_{1} C_{1} ∽ △ A B C$ ，且相似比为 $2 ： 1$ ；

(2)、在图②中画 $△ M N P$ ，使得 $△ M N P ∽ △ D E F$ ，且周长比为 $\sqrt{2} ： 1$ .

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五、解答题（每小题8分；共16分）

23.
如图是函数 $y = \frac{3}{x}$ 与函数 $y = \frac{6}{x}$ 在第一象限内的图象，点P是 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上一动点，PA⊥x轴于点A ，交 $y = \frac{3}{x}$ 的图象于点C， PB⊥y轴于点B ，交 $y = \frac{3}{x}$ 的图象于点D．

(1)、求证：D是BP的中点；

(2)、求出四边形ODPC的面积．

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24. 如图，点 $A$ 、 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，点 $A (m ， 2)$ ，点 $B$ 的横坐标是4，过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，连接 $A C$ 、 $A B$ .

(1)、用含 $m$ 的式子表示 $B C$ ，则 $B C =$

(2)、当 $0 < m < 4$ 时，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ （用含 $m$ 的式子表示）；

(3)、在（2）的条件下，当 $△ A B C$ 的面积 $S$ 最大时，求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式.

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六、解答题（每小题10分，共20分）

25. 已知 $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 均为等腰三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = C E = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别为 $A B$ 、 $D E$ 的中点，连接 $P Q$ 、 $C P$ 、 $C Q$ 、 $B D$ .

(1)、【猜想】：如图①，当点 $D$ 在 $A C$ 上时，线段 $B D$ 和 $P Q$ 的大小关系是；

(2)、【探究】：如图②，把 $△ D C E$ 绕着点 $C$ 旋转一定的角度时，线段 $B D$ 和 $P Q$ 的大小关系是什么？说明理由；

(3)、【拓展】：如图③， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 均为直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，且 $∠ A = ∠ E = 30 °$ ， $C D = 1 ，$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别为 $A B$ 、 $D E$ 的中点，连接 $P Q$ 、 $B D$ ，当 $∠ P Q D = 30 °$ 时， $△ B C D$ 的面积是

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26. 实验数据显示；一般成人喝半斤低度白酒后， $1 ： 5$ 小时内其血液中酒精含量 $y$ （毫克/百毫升）与时间 $x$ （时）的关系可近似地用二次函数 $y = - 200 x^{2} + 400 x$ 刻画；1.5小时后（包括1.5小时） $y$ 与 $x$ 可近似地用反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 刻画（如图所示）.

(1)、根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当 $x = 5$ 时， $y = 45$ ，求 $k$ 的值.

(2)、按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路，参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 $20 ： 00$ 在家喝完半斤低度白酒，第二天早上 $7 ： 00$ 能否驾车去上班？请说明理由.

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