吉林省长春市净月高新区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若式子 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x < 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \leq 1$ D、 $x \geq 1$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} \div 3 = 2$

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3. 如图， $A D / / B E / / C F$ ，直线 $a$ 、 $b$ 与这三条平行线分别交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ， $A B = 8$ ， $D E = 6$ ， $E F = 9$ ，则 $B C$ 的长是（）

A、 $8$ B、 $10$ C、 $12$ D、 $9$

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4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - b = 0$ 的一个解是 $x = - 1$ ，则方程的另一个解为（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 3$ D、 $3$

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5. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 $α$ ，高为 $7$ 米 $.$ 则扶梯 $A B$ 的长为（）

A、 $7 s i n α$ 米 B、 $\frac{7}{s i n α}$ 米 C、 $7 t a n α$ 米 D、 $\frac{7}{t a n α}$ 米

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，点 $D$ 是 $A B$ 边上一动点，连结 $C D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $C D$ 折叠，当点 $B$ 落在 $A B$ 边 $B'$ 点时，若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A B'$ 的长是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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7. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，利用尺规在 $B C$ ， $B A$ 上分别截取 $B E$ ， $B D$ ，使 $B E = B D$ ；分别以 $D$ ， $E$ 为圆心、以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C B A$ 内交于点 $F$ ；作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G .$ 若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ， $P$ 为 $A B$ 上一动点，则 $G P$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 、 $B$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，延长 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，作 $B D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $C D$ 、 $A D$ ，并延长 $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E .$ 若 $A B = 2 B C$ ， $△ D C E$ 的面积是 $4.5$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $6$ D、 $9$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9. 计算： $\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} =$ ．

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10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x + m = 0$ 有两个不相等实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是．

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12. 如图，在平面直角坐标中， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为．

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13. 如图，已知点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 边上的点，且 $△ A D E$ ∽ $△ A B C$ ，相似比为 $1$ ： $3$ ， $A G ⊥ B C$ 交 $D E$ 于点 $F$ ，则 $A F$ ： $A G =$ ．

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14. 雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞 $($ 如图 $①)$ ，可以发现数学的研究对象一一抛物线 $.$ 在如图 $②$ 所示的平面直角坐标系中，伞柄在 $y$ 轴上，坐标原点 $O$ 为伞骨 $O A$ 、 $O B$ 的交点 $.$ 点 $C$ 为抛物线的顶点，点 $A$ 、 $B$ 在抛物线上， $O A$ 、 $O B$ 关于 $y$ 轴对称 $. O C = 1$ 分米，点 $A$ 到 $x$ 轴的距离是 $0.6$ 分米， $A$ 、 $B$ 两点之间的距离是 $4$ 分米 $.$ 分别延长 $A O$ 、 $B O$ 交抛物线于点 $F$ 、 $E$ ，则雨伞撑开时的最大直径 $E F$ 的长为分米．

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三、计算题：本大题共1小题，共6分。

15. 解方程： $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ．

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四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 2 c o s 30 °$ ．

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17. 在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A ， B之间电流能够通过的概率．

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18. $2023$ 年杭州亚运会吉祥物是由琮琮、莲莲、宸宸共同组成“江南忆”组合 $.$ 三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱 $.$ 经统计，某商店 $7$ 月份“江南忆”钥匙扣的销售量为 $256$ 件， $9$ 月份的销售量为 $400$ 件 $.$ 求该款钥匙扣 $7$ 月份到 $9$ 月份销售量的月平均增长率．

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19. 如图，在 $5 \times 5$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ ， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形 $. ($ 保留作图痕迹 $)$

(1)、如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $t a n B =$ ；

(2)、如图 $2$ ，在 $A C$ 边上取一点 $D$ ，使得 $t a n ∠ A B D = \frac{1}{2}$ ；

(3)、如图 $3$ ，在 $A C$ 边上找一点 $E$ ，使得 $S_{△ A B E}$ ： $S_{△ B E C} = 3$ ．

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，连接 $D B$ ，点 $F$ 在 $B C$ 边上，连接 $D F$ 并延长，交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，且 $∠ E D B = ∠ A$ ．

(1)、求证： $△ B D F$ ∽ $△ B C D$ ；

(2)、如果 $B C = 7$ ， $B F = 4$ ，求 $B D$ 的长．

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21. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度 $.$ 如图，塔 $A B$ 前有一座高为 $3 m$ 的观景台 $D E$ ，已知 $∠ D C E = 30 °$ ，点 $E$ 、 $C$ 、 $A$ 在同一条水平直线上 $.$ 某学习小组在观景台 $C$ 处测得塔顶部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，在观景台 $D$ 处测得塔顶部 $B$ 的仰角为 $27 ° .$ 求塔 $A B$ 的高度 $.$ 【参考数据： $t a n 27 ° = 0.5$ ， $\sqrt{3} = 1.7$ 】 $.$

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22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 $77$ 页的部分内容．
猜想：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 与 $A C$ 的中点．
根据画出的图形，可以猜想：
$D E / / B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．

(1)、【定理证明】请根据教材内容，结合图 $①$ ，写出证明过程．

(2)、【定理应用】如图 $②$ ，已知矩形 $A B C D$ 中， $A D = 6$ ， $C D = 4$ ，点 $P$ 在 $B C$ 上从 $B$ 向 $C$ 移动， $R$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $D C$ 、 $A P$ 、 $R P$ 的中点，则 $E F =$ ．

(3)、【拓展提升】在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 14$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，过点 $A$ 作 $∠ A B C$ 平分线的垂线，垂足为点 $F$ ，连结 $E F$ ，若 $E F = 3$ ，则 $B C =$ ．

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23. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M$ 为 $B C$ 中点， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $t a n B = \frac{4}{3} .$ 动点 $P$ 从点 $M$ 出发，沿 $M - B - A$ 以每秒 $1$ 个单位的速度向终点 $A$ 运动 $.$ 连结 $P M$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ P M$ ，且 $P Q = 2 P M$ ，连结 $Q M$ ，点 $A$ 和点 $Q$ 始终在直线 $B C$ 的同侧 $.$ 设运动的时间为 $t$ 秒 $. (t > 0)$

(1)、当点 $P$ 沿 $M - B - A$ 运动时，求 $B P$ 的长 $($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$ ．

(2)、当点 $Q$ 落在 $A B$ 边上时，求 $t$ 的值．

(3)、连结 $A Q$ ，当 $A Q$ 与平行四边形 $A B C D$ 的边平行时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数， $a \neq 0)$ ，自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如表：

$x$

$0$

$1$

$2$

$3$

$\dots$

$y$

$- 2$

$m$

$- 2$

$1$

$\dots$

(1)、根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为直线．

(2)、求抛物线的解析式和 $m$ 的值．

(3)、将抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (x > 0)$ 的图象记为 $G_{1}$ ，将 $G_{1}$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ 后的图象记为 $G_{2}$ ， $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 合起来得到的图象记为 $G$ ，完成以下问题：
$①$ 若直线 $y = k$ 与函数 $G$ 有且只有两个交点，直接写出 $k$ 的取值范围．
$②$ 若对于函数 $G$ 上的两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 、 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $t \leq x_{1} \leq t + 1$ ， $x_{2} \geq 2$ 时，总有 $y_{1} < y_{2}$ ，直接写出 $t$ 的取值范围．

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$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\dots$
$y$	$- 2$	$m$	$- 2$	$1$	$\dots$