吉林省长春市汽开区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $2 s i n 45 °$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 将二次函数 $y = x^{2} - 6 x + 2$ 化成 $y = a (x - h)^{2} + k$ 的形式为（）

A、 $y = (x - 3)^{2} + 2$ B、 $y = (x - 3)^{2} - 7$ C、 $y = (x + 3)^{2} - 7$ D、 $y = (x - 6)^{2} + 2$

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3. 若点 $A$ 在二次函数 $y = (x - 5)^{2} - 4$ 图象的对称轴上，则点 $A$ 的坐标可能是（）

A、 $(- 5，0)$ B、 $(5，0)$ C、 $(0，4)$ D、 $(0 ， - 4)$

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4. 某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室 $.$ 已知 $2021$ 年该学校用于购买图书的费用为 $10000$ 元， $2023$ 年用于购买图书的费用增加到 $14400$ 元 $.$ 设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为 $x$ ，根据题意可列方程为（）

A、 $10000 (1 + x)^{2} = 14400$ B、 $10000 (1 + 2 x) = 14400$ C、 $10000 (1 + x) \cdot 2 = 14400$ D、 $10000 (1 + x^{2}) = 14400$

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5. 已知点 $A$ 是 $⊙ O$ 外一点，且 $⊙ O$ 的半径为 $6$ ，则 $O A$ 的长可能为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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6. 如图，某零件的外径为 $12 c m$ ，用一个交叉卡钳 $(A C = B D)$ 可测量零件的内孔直径 $A B .$ 若 $O A$ ： $O C = O B$ ： $O D = 2$ ，且量得 $C D = 5 c m$ ，则零件的厚度 $x$ 为（）

A、 $2 c m$ B、 $1.5 c m$ C、 $1 c m$ D、 $0.5 c m$

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7. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子 $A B$ 的长为 $10$ 米，梯子与地面形成的夹角为 $∠ B A C = 41 °$ ，则墙的高度 $B C$ 为（）

A、 $10 c o s 41 °$ 米 B、 $10 s i n 41 °$ 米 C、 $\frac{10}{c o s 41^{\circ}}$ 米 D、 $\frac{10}{s i n 41^{\circ}}$ 米

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8. 如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面 $.$ 具体操作如下：作 $⊙ O$ 的任意一条直径 $F C$ ，以点 $F$ 为圆心、 $O F$ 长为半径作圆，与 $⊙ O$ 相交于点 $E$ 、 $A$ ；以点 $C$ 为圆心、 $O C$ 长为半径作圆，与 $⊙ O$ 相交于点 $D$ 、 $B$ ；连结 $E F$ 、 $F A$ 、 $B C$ 、 $C D$ ，得到两个扇形，并裁剪下来 $.$ 若 $⊙ O$ 的半径为 $10 c m$ ，则剩余纸板 $($ 图中阴影部分图形 $)$ 的面积为（）

A、 $\frac{200 π}{3} c m^{2}$ B、 $\frac{100 π}{3} c m^{2}$ C、 $\frac{50 π}{3} c m^{2}$ D、 $\frac{20 π}{3} c m^{2}$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9. 关于x的方程x²-2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．

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10. 抛物线 $y = 3 (x - 2)^{2} + 9$ 的顶点坐标为．

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11. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都在横格线上 $.$ 若线段 $A B = 2 c m$ ，则线段 $B C =$ $c m$ ．

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12. 如图， $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线， $M$ 是切点，连结 $O M$ 、 $O N .$ 若 $∠ N = 36 °$ ，则 $∠ M O N$ 的大小为度 $.$

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13. 如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q. 若AB=4，则弧BQ的长为.

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14. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线 $.$ 如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为 $1$ 米，并且相距 $4$ 米，现以两人的站立点所在的直线为 $x$ 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是 $(0，1) .$ 身高 $1.60$ 米的小丽站在绳子的正下方，且距 $y$ 轴 $1$ 米时，绳子刚好经过她的头顶 $.$ 若身高 $1.75$ 米的小伟站在这条绳子的正下方，他距 $y$ 轴 $m$ 米，为确保绳子超过他的头顶，则 $m$ 的取值范围为．

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三、计算题：本大题共1小题，共6分。

15. 解方程：x²-4x+1=0

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四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第 $31$ 届世界大学生夏季运动会会徽 $($ 卡片分别记为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，第三张卡片的正面图案为成都第 $31$ 届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝” $($ 卡片记为 $B)$ ，卡片除正面图案不同外，其余均相同 $.$ 将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张 $.$ 请用画树状图 $($ 或列表 $)$ 的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率．

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17. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2 (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 1 ， - 4)$ 、 $(1，6)$ ，求这个二次函数的表达式．

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18. 在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍 $.$ 如图，无人机在空中 $A$ 处的飞行高度为 $A C$ ，地面观测点 $B$ 处观测无人机在空中 $A$ 处的仰角 $α = 18 °$ ，已知 $B C = 70$ 米，求此时无人机的飞行高度 $A C . ($ 结果精确到 $0.1$ 米 $)$
【参考数据： $s i n 18 ° \approx 0.309$ ， $c o s 18 ° \approx 0.951$ ， $t a n 18 ° \approx 0.325$ 】

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19. 图 $①$ 、图 $②$ 、图 $③$ 均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，点 $D$ 为 $A B$ 的中点 $.$ 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、在图 $①$ 中 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上确定一点 $E$ ，连结 $D E$ ，使 $D E / / A C$ ．

(2)、在图 $②$ 中 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上确定一点 $F$ ，连结 $D F$ ，使 $∠ A F D = ∠ C$ ．

(3)、在图 $③$ 中 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上确定一点 $G$ ，连结 $D G$ ，使 $∠ A G D = ∠ B$ ．

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20. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 都在 $⊙ O$ 上，且 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、延长 $E D$ 交 $B A$ 的延长线于点 $F .$ 若 $∠ F = 30 °$ ， $A B = 8$ ，则 $B E$ 的长为．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1，0)$ 和点 $B (0 ， \frac{5}{2})$ ，顶点为 $C$ ．

(1)、求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．

(2)、求顶点 $C$ 的坐标．

(3)、当 $y \geq \frac{5}{2}$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围．

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22. 【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

点 $A$ 为 $⊙ O$ 内一定点，点 $P$ 为 $⊙ O$ 上一动点，确定点 $P$ 的位置，使线段 $A P$ 最长．

(1)、【问题解决】以下是小华的方法：
如图 $①$ ，连结 $A O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $P$ ，点 $P$ 为所求．
理由如下：在 $⊙ O$ 上取点 $P' ($ 异于点 $P)$ ，连结 $A P'$ 、 $O P'$ ．
接下来只需证明 $A P > A P'$ ．
请你补全小华的证明过程．

(2)、【类比结论】点 $A$ 为 $⊙ O$ 外一定点，点 $P$ 为 $⊙ O$ 上一动点，设 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ， $A O$ 的长为 $m$ ，则线段 $A P$ 长度的最大值为，线段 $A P$ 长度的最小值为 $. ($ 用含 $r$ 、 $m$ 的代数式表示 $)$

(3)、【拓展延伸】如图 $②$ ，在半圆 $O$ 中，直径 $A B$ 的长为 $10$ ，点 $D$ 在半圆 $O$ 上， $A D = 6$ ，点 $C$ 在 $\overset{⏜}{B D}$ 上运动，连结 $A C$ ， $H$ 是 $A C$ 上一点，且 $∠ D H C = 90 °$ ，连结 $B H .$ 在点 $C$ 运动的过程中，线段 $B H$ 长度的最小值为．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 10$ ，点 $D$ 为边 $A C$ 的中点，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A B - B C$ 向点 $C$ 运动，点 $P$ 在 $A B$ 上以每秒 $1$ 个单位长度的速度运动，在 $B C$ 上以每秒 $\sqrt{5}$ 个单位长度的速度运动，在点 $P$ 运动过程中，连结 $P D$ ，将 $△ A P D$ 沿 $P D$ 翻折得到 $△ A^{'} P D .$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 10) .$

(1)、求 $B C$ 的长．

(2)、用含 $t$ 的代数式表示线段 $B P$ 的长．

(3)、当 $△ A' P D$ 与 $△ A B C$ 相似时，求 $t$ 的值．

(4)、当四边形 $A P A' D$ 为中心对称图形时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + n x + n$ 经过点 $A (4 ， - 6) .$ 点 $P$ 是该抛物线上一点，其横坐标为 $m .$ 以 $A P$ 为对角线作矩形 $A B P C$ ， $A B ⊥ y$ 轴．

(1)、求抛物线所对应的函数表达式．

(2)、当抛物线在矩形 $A B P C$ 内部的点的纵坐标 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时， $m$ 的取值范围为．

(3)、设抛物线在矩形 $A B P C$ 内部的图象 $($ 包括边界 $)$ 的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为 $h$ 时，求 $h$ 与 $m$ 之间的函数关系式．

(4)、设这条抛物线的顶点为 $D$ ， $△ A P D$ 的面积为 $S .$ 当 $S = 6$ 时，直接写出 $m$ 的值．

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