吉林省吉林市桦甸市2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $(a b)^{2} = a^{2} b^{2}$ C、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ D、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$

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2. 点P(-2，5)关于x轴对称的点的坐标为（）

A、(2，-5) B、(5，-2) C、(-2，-5) D、(2，5)

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3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 $4$ 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 边上的点， $∠ B D C = ∠ C E B$ ，若添加下列一个条件后，仍不能证明 $△ B D F$ ≌ $△ C E F$ 的是（）

A、 $A B = A C$ B、 $B F = C F$ C、 $D F = E F$ D、 $∠ B = ∠ C$

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5. 若分式 $\frac{1 - | x |}{1 - x}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 1$ 或 $1$ D、 $- 1$ 或 $0$

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6. 关于 $x$ 的方程 $\frac{k}{2 x - 4} - 1 = \frac{x}{x - 2}$ 的解为正数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 4$ B、 $k > - 4$ C、 $k < 4$ 且 $k \neq - 4$ D、 $k > - 4$ 且 $k \neq 4$

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

7. 如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是边形.

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8. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台 $.$ ”这是诗仙李白眼里的雪花 $.$ 单个雪花的重量其实很轻，只有 $0.00003 k g$ 左右， $0.00003$ 用科学记数法可表示为．

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9. 已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是．

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10.
空调安装在墙上时，一般都会象如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是．

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11. 已知 $x + y = 7$ ， $x y = 5$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为．

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B + B C = 12$ ，则 $A B$ 的长为．

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13. 若 $(x + n)^{2} = x^{2} + 4 x + m$ ，则 $m =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若 $△ A B C$ 的面积等于8，则 $△ B D E$ 的面积等于．

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三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 化简： $(x + 2)^{2} + x (x - 4)$ ．

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16. 因式分解： $x^{2} (m - n) + y^{2} (n - m)$ ．

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17. 解方程： $\frac{3}{x - 2} = 2 + \frac{x}{2 - x}$ ．

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18. 如图，树 $A B$ 垂直于地面，为测树高，小华在 $C$ 处测得 $∠ A C B = 15 °$ ，然后他沿 $C B$ 方向走了 $30$ 米，到达 $D$ 处，测得 $∠ A D B = 30 °$ ，你能帮助小华计算出树的高度吗？

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19. 先化简，再求值： $1 - \frac{x - y}{x + 2 y} \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}}$ ，其中 $x = 4$ ， $y = - 2$ ．

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20. 已知：在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且∠ADE=∠CDF，AD=CD，连接BD。
求证：BD平分∠ABC。

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 顶点的坐标分别是 $A (- 1，3)$ 、 $B (- 5，1)$ 、 $C (- 2 ， - 2)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A' B' C'$ ，并写出 $△ A' B' C'$ 各顶点的坐标；

(2)、求出 $△ A B C$ 的面积．

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22. 如图，在△ABC中，AB＝AC ，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF ， BD＝CE ．

(1)、求证：△DEF是等腰三角形；

(2)、当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

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23.
探究活动：

(1)、如图 $1$ 是边长分别为 $a$ 、 $b$ 的正方形，可以求出阴影部分的面积是 $. ($ 写成两数平方差的形式 $)$

(2)、如图 $2$ ，若将图 $1$ 中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 $. ($ 写成多项式乘积的形式 $)$

(3)、比较图 $1$ 、图 $2$ 阴影部分的面积，可以得到等式：．

(4)、 $①$ 计算： $(x + 3 y) (x - 3 y) (x^{2} + 9 y^{2}) .$
$②$ 计算 $998 \times 1002$ ．

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24. 李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

燃油车
油箱容积： $40$ 升
油价： $9$ 元 $/$ 升
续航里程： $2 a$ 千米
每千米行驶费用： $\frac{40 \times 9}{2 a}$ 元

新能源车
电池电量： $60$ 千瓦时
电价： $0.6$ 元 $/$ 千瓦时
续航里程： $a$ 千米
每千米行驶费用： ▲ 元

(1)、用含

a

的代数式表示出新能源车每千米行驶费用．

(2)、若燃油车的每千米行驶费用比新能源车每千米行驶费用多

0.48

元

.

请你帮李师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少？

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25. 如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

(1)、求证：△ABQ≌△CAP；

(2)、当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

(3)、如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

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26. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图 $①$ ，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，延长 $A D$ 到 $M$ ，使 $D M = A D$ ，连接 $B M$ ．

(1)、 $【探究发现】$ 如图 $①$ ， $A C$ 与 $B M$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、【初步应用】如图 $②$ ， $△ A B C$ 中，若 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，求 $B C$ 边上中线 $A D$ 的取值范围；

(3)、【探究提升】如图 $③$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的 $B C$ 边中线，过点 $A$ 分别向外作 $A E ⊥ A B$ 、 $A F ⊥ A C$ ，使得 $A E = A B$ ， $A F = A C$ ，延长 $D A$ 交 $E F$ 于点 $P$ ，判断线段 $E F$ 与 $A D$ 的数量关系和位置关系，并说明理由．

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