广东省佛山市南海区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 在 ${(- 1)}^{3}$ ， ${(- 1)}^{2}$ ， $- 2^{2}$ ， ${(- 3)}^{2}$ 这四个数中，最大的数与最小的数的差等于（）

A、10 B、8 C、5 D、13

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2. 已知只用一幅三角板可以直接画出 $75 °$ 的角，则下列度数的角只用一幅三角板不能直接画出的是（）

A、 $15 °$ B、 $150 °$ C、 $135 °$ D、 $160 °$

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3. 一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是6条，则这个多边形的边数是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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4. 关于x的方程 $m x - 1 = 2 (m - x)$ 的解满足 $| x + 2 | = 0$ ，则m的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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5. 如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（）

A、 $a + b < 0$ B、 $a - b < 0$ C、 $- a + b > 0$ D、 $- b > - a$

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6. 南海图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知甲类书有45本，则丙类书的本数是（）

A、90 B、120 C、180 D、200

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7. 甲从 $O$ 点出发，沿北偏西 $30 °$ 走了 $50$ 米到达 $A$ 点，乙从 $O$ 点出发，沿南偏东 $35 °$ 方向走了 $80$ 米到达 $B$ 点，则 $∠ A O B$ 为（）

A、 $65 °$ B、 $115 °$ C、 $175 °$ D、 $185 °$

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8. 对于有理数a，b，定义 $a Φ b = 2 a - b$ ，则 $[(x - y) Φ (x + y)] Φ 5 x$ 化简后得（）

A、 $- x + y$ B、 $- 3 x - 6 y$ C、 $- x + 6 y$ D、 $- x + 4 y$

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9. 如图，按照所示的运算程序计算：若开始输入的x值为10，则第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，…，第2023次输出的结果为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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10. 如图，在公路 $l$ 上有A、M、C、B、N、D任意六点，点 $O$ 为直线 $l$ 外一点，连接 $O A$ 、 $O M$ 、 $O C$ 、 $O B$ 、 $O N$ 、 $O D$ ，下列结论：①在直线l上的线段共有15条；②若 $O M$ 平分 $∠ A O C$ ， $O N$ 平分 $∠ B O D$ ， $∠ A O D = 5 ∠ C O B$ ，则 $∠ M O N = \frac{3}{2} (∠ M O C + ∠ B O N)$ ；③若M为 $A B$ 的中点，N为 $C D$ 的中点，则 $M N = \frac{1}{2} (A D - C B)$ ；④若 $M C = C B$ ， $M N = N D$ ，则 $C D = 2 C N$ ．正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式： $V + F - E = 2$ ，被称为欧拉公式．若一个多面体的面数比顶点数少8，且有30条棱，则这个多面体的顶点数是．

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12. 若mn=m+3，则2mn+3m-5nm+10=.

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13. 一个直径为1的小圆在数轴上可以左右滚动，若小圆从数轴上表示某个数 $x$ 的点开始，沿着数轴滚动一周以后恰好滚动到表示 $- 2$ 的点上，则 $x$ 的值是．（结果保留 $π$ ）

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14. 如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，图中的数字为正方形编号，其中标注1、2的正方形边长分别为a、b．请你写出：第7个正方形的边长 $=$ （用含a、b的代数式表示）

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15. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将 $- 4$ ， $- 2$ ， $- 1$ ， 2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则 $(d - c + b)^{a}$ 的值为．

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三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

16. 计算： $- 3^{2} - \frac{1}{3} \times [(- 5)^{2} \times (- \frac{3}{5}) - 240 \div (- 4) \times \frac{1}{4}]$

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17. 某同学在解关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1$ 去分母时，方程右边的 $- 1$ 没有乘以6，因而求得方程的解为 $x = 10$ ，求 $a$ 的值和方程正确的解．

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18. 【问题情境】小明所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】

(1)、图1中的第个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒（填序号）．

(2)、小圣所在的综合实践小组把折叠成9个棱长都为 $2 d m$ 的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的表面积；
②要保持从上面看到的平面图形不变，最多可以拿走小正方体的个数是 ▲ ．

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四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19. 已知，m、x、y满足以下两个条件① $(x - 5)^{2} + | m - \frac{1}{3} | = 0$ ；② $- 2 a b^{- y + 1}$ 与 $5 a b^{4}$ 是同类项．求代数式： $(2 x^{2} - 3 x y - 6 y^{2}) - m (3 x^{2} - x y - 9 y^{2})$ 的值．

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20. 观察下列各式：
$1^{2} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6}$ ； $1^{2} + 2^{2} = \frac{2 \times 3 \times 5}{6}$ ； $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = \frac{3 \times 4 \times 7}{6}$ ； $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = \frac{4 \times 5 \times 9}{6}$ ；……

(1)、根据你发现的规律，计算下面算式的值： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} =$ ；

(2)、请用一个含n的算式表示这个规律： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} =$ ；

(3)、根据发现的规律，请计算算式 $51^{2} + 52^{2} + \dots + 99^{2} + 100^{2}$ 的值（写出必要的解题过程）.

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21. 用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）
A方法：剪6个侧面；

B方法：剪4个侧面和5个底面.

现有38张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.

(1)、用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；

(2)、若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？

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五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22. 如图两个形状、大小完全相同的含有 $30 °$ ， $60 °$ 的三角板如图1放置， $∠ D O C = ∠ M = 30 °$ ， $N O$ 、 $D O$ 与直线 $A B$ 重合，且三角板 $N O M$ ，三角板 $D O C$ 均可以绕点 $O$ 旋转．

(1)、将图1中的三角板 $D O C$ 保持不动，三角板 $N O M$ 绕点O以每秒 $2 °$ 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过 $t$ 秒后， $O M$ 平分 $∠ B O C$ ，求此时 $t$ 的值；

(2)、将图1三角板 $N O M$ 绕点O以每秒 $2 °$ 的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板 $D O C$ 也绕点 $O$ 以每秒 $6 °$ 的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边 $O C$ 与 $O M$ 首次重合；

(3)、如图③，将图1三角板 $N O M$ 绕点 $O$ 以每秒 $5 °$ 的速度顺时针旋转，同时三角板 $D O C$ 绕点O以每秒 $1 °$ 的速度逆时针旋转，（当 $O M$ 转到与 $O B$ 重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中， $O N$ 、 $O C$ 、 $O A$ 三条射线中，得到三个角 $∠ N O C$ ， $∠ C O A$ ， $∠ N O A$ ，当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间 $t$ 的值．

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23. 单项式 $- 70 x^{25} y^{5}$ 的系数为 $a$ ，次数为 $b$ ．如图，点O为原点，A、B在数轴上表示的数分别为a、b．

(1)、直接写出A点表示的数为， B点表示的数为；

(2)、若在数轴上存在一点C，使得 $A C = \frac{1}{4} C B$ ，求点 $C$ 表示的数；

(3)、若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，点P的速度为每秒5个单位长度，同时另一个动点N从B出发沿数轴负方向运动5秒后，再以每秒15个单位长度的速度继续匀速运动，N点运动过程中到达点 $A$ 后调转方向返回．当点P到达点B时，两点都停止运动．若整个运动过程中，运动时间为7秒时，P、N两点相距20个单位长度，求点N最开始的速度．

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