浙江省宁波市奉化区重点中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期中考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）

A、15 B、12 C、12或15 D、9

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3. 如图， $∠ A B C = ∠ D C B$ ，要说明 $△ A B C$ ≌ $△ D C B$ ，添加的条件不能是（）

A、 $A B = D C$ B、 $∠ A = ∠ D$ C、 $B E = C E$ D、 $A C = D B$

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4. 设 $a < b$ ，则下面不等式正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $2 - a < 2 - b$ C、 $\frac{a}{3} + 1 < \frac{b}{3} + 1$ D、 $3 a - 3 > 3 b - 3$

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5. 由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B、AB：BC：AC＝3：4：5 C、∠A+∠B＝∠C D、AB²＝BC²+AC²

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6.
尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法可得△OCP≌△ODP，判定这两个三角形全等的根据是（　　）

A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS

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7. 在平面直角坐标系内，线段 $M N$ 的两个端点坐标分别为 $M (- 1，2)$ 、 $N (2，1)$ ，平移线段 $M N$ 得到线段 $M' N'$ ，若点 $M$ 的对应点 $M'$ 的坐标为 $(0，1)$ ，则 $N'$ 的坐标为（）

A、 $(3，2)$ B、 $(1，2)$ C、 $(1，0)$ D、 $(3，0)$

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8. 能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（）

A、 $∠ 1 = 91 ° ， ∠ 2 = 50 °$ B、 $∠ 1 = 89 ° ， ∠ 2 = 1 °$ C、 $∠ 1 = 120 ° ， ∠ 2 = 40 °$ D、 $∠ 1 = 102 ° ， ∠ 2 = 2 °$

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9. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC ， AB边于E ， F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A、6 B、8 C、10 D、12

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10. 如图，分别以直角三角形的三边向外作等腰直角三角形，然后将较小的两个等腰直角 $△ A D E$ 和 $△ B F D$ 放在最大的等腰直角 $△ A B C$ 内 $($ 如图 $)$ ， $D E$ 与 $F G$ 交于点 $H$ ，连结 $A H$ ， $E G .$ 若要求 $△ G C E$ 的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（）

A、 $△ A B C$ B、 $△ A E H$ C、 $△ A F H$ D、 $△ D F H$

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二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

11. “x的2倍与3的差是非负数．”用不等式表示为：．

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12. 已知等腰三角形一个外角等于 $80 °$ ，则这个等腰三角形的顶角的度数是．

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13. “对顶角相等”的逆命题是．（用“如果…那么…”的形式写出）

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14. 在平面直角坐标系中，将点 $A (- 4，1)$ 向右平移 $7$ 个单位长度得到点 $B$ ，则点 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点 $C$ 的坐标是．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $A B$ 的垂直平分线，交 $B C$ 于 $D$ ，交 $A B$ 于 $E$ ，已知 $A E = 1 c m$ ， $△ A C D$ 的周长为 $12 c m$ ，则 $△ A B C$ 的周长是 $c m$ ．

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16. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝.

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17. 若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 a \geq 0 \\ 5 - 2 x > 0 \end{array}$ 的整数解共有 $4$ 个，则 $a$ 的取值范围是．

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，射线 $C D$ 与边 $A B$ 交于点 $D$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 、 $B D$ 中点，设点 $E$ 、 $F$ 到射线 $C D$ 的距离分别为 $m$ 、 $n$ ，则线段 $C D$ 的最小值为， $m + n$ 的最大值为．

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三、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19. 解不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x - 5 > 3 (x - 1) \\ \frac{x}{3} - \frac{x - 2}{2} \leq 2 \end{array}$ ，并把解集表示在数轴上．

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 3，3)$ ， $B (- 4 ， - 4)$ ， $C (0 ， - 1)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在图中作出三角形中 $A B$ 边上的中线 $C D$ ；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 如图，BD＝BE，∠D＝∠E，∠ABC＝∠DBE＝90°，BF⊥AE，且点A，C，E在同一条直线上.

(1)、求证：△DAB≌△ECB；

(2)、若AD＝3，AF＝1，求BE的长.

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22. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $D$ 是 $B C$ 边上一点，且 $A D = A C$ ，若 $B D - D C = 1 .$ 求 $D C$ 的长．

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23. 某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的 $《$ 北上 $》 ($ 徐则臣著 $)$ 和 $《$ 牵风记 $》 ($ 徐怀中著 $)$ 两种书共 $50$ 本 $.$ 已知购买 $6$ 本 $《$ 北上 $》$ 与购买 $7$ 本 $《$ 牵风记 $》$ 的价格相同；购买 $2$ 本 $《$ 北上 $》$ 和 $1$ 本 $《$ 牵风记 $》$ 需 $100$ 元．

(1)、求这两种书的单价；

(2)、若购买 $《$ 北上 $》$ 的数量不少于所购买 $《$ 牵风记 $》$ 数量的一半，且购买两种书的总价不超过 $1600$ 元 $.$ 请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？

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24. 如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图 $1$ ，等腰 $△ A B C$ 与等腰 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = α$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．

(1)、【模型探究】
如图 $1$ ，线段 $B D$ 与线段 $C E$ 存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

(2)、【应用模型】
如图 $2$ ，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边的中点，直线 $M N$ 经过点 $P$ ，且 $∠ D P B = 30 °$ ，点 $D$ 是直线 $M N$ 上的动点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A E$ ，连结 $D E$ ．
$①$ 如图 $3$ ，当点 $E$ 落在 $B C$ 边上时，求 $C E$ ．
$②$ 直接写出在点 $D$ 运动过程中，点 $C$ 和点 $E$ 之间的最短距离．

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