浙江省温州市瑞安市西部联盟联考2023-2024学年九年级上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：月考试卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1. 下列事件中，属于不可能事件的是（）

A、一匹马奔跑的速度是100米/秒 B、射击运动员射击一次，命中10环 C、班里有两名同学的生日在同一天 D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下

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2. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值是（　　）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 已知 $⊙ O$ 的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点P在 $⊙ O$ 内 B、点P在 $⊙ O$ 上 C、点P在 $⊙ O$ 外 D、点P在圆心

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4. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线解析式为（）

A、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ B、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ C、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ D、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 3$

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5. 如图，⊙ $O$ 的半径为4，弦 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，则圆心 $O$ 到弦 $A B$ 的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 如图： $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A D ： D F = 3 ： 1 ， B E = 12$ ，那么CE的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $B C / /$ 半径 $O A$ ， $A C$ 与 $O B$ 相交于M ， $∠ C = 20 °$ ，则 $∠ A M B$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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8. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）

A、 $y = 60 (300 + 20 x)$ B、 $y = (60 - x) (300 + 20 x)$ C、 $y = 300 (60 - 20 x)$ D、 $y = (60 - x) (300 - 20 x)$

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9. 剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1} G_{1} H_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ，图中阴影部分面积 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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10. 某兴趣小组开展综合实践活动：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C D = \sqrt{2} ， D$ 为 $A C$ 上一点，动点 $P$ 以每秒1个单位的速度从 $C$ 点出发，在三角形边上沿 $C \to B \to A$ 匀速运动，到达点 $A$ 时停止，以 $D P$ 为边作正方形 $D P E F$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t s$ ，正方形 $D P E F$ 的面积为 $S$ ，当点 $P$ 由点 $C$ 运动到点 $A$ 时，经探究发现 $S$ 是关于 $t$ 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3} (t_{1} < t_{2} < t_{3})$ 对应的正方形DPEF的面积均相等，当 $t_{3} = 5 t_{1}$ 时，则正方形 $D P E F$ 的面积为（）

A、3 B、 $\frac{34}{9}$ C、4 D、5

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二、填空题（本题有6题，每小题4分，共24分）

11. 二次函数y=x²+1的图象的顶点坐标是．

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12. 在一个不透明的盒子中有25个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中白球的个数约为．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ C B E$ 是它的一个外角，若 $∠ C B E = 100 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是．

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14. 如图，二次函数 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ 与一次函数 $y_{2} = m x + n$ 的图象相交于 $A ， B$ 两点，则关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = m x + n$ 的解为．

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15. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点 $A ， B$ 的连线与格点 $C ， D$ 的连线交于点 $E$ ，若经过点 $B ， D ， E$ 作圆，则图中阴影部分的面积为．

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16. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是 $\overset{⌢}{A D}$ 上一点，弦 $A P = A E$ ，连结 $B P$ 交 $C D$ 于点 $M ， A P$ 与 $C D$ 的延长线交于点 $G$ ，设 $\frac{E M}{M G} = m$ ，已知 $A B = 2$ ，当 $m = \frac{1}{3}$ 时， $O E =$ ．连结 $A C$ ，若 $B P ∥ A C$ ，则 $m =$ ．

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三、解答题（本题有7小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步缥或证明过程）

17.

(1)、已知 $a = 4.5$ ， $b = 2$ ， $c$ 是 $a$ ， $b$ 的比例中项，求 $c$ ；

(2)、如图， $C$ 是 $A B$ 的黄金分割点，且 $A C > B C$ ， $A B = 4$ ，求 $A C$ 的长．

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18. 如图， $△ A B C$ 的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．

(1)、在图1中画出 $A C$ 边上的点 $D$ ，使得 $C D = 2 A D$ ；

(2)、在图2中画出 $△ A B C$ 的重心 $G$ ．

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19. 某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”，“哪种方式更合算”，“设计遮阳棚”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了如下表格：
课题
选择次数
频率
$A$ “视力的变化”
4
$a$
$B$ “哪种方式更合算”
$b$
$0.4$
$C$ “设计遮阳棚”
20
$0.5$
请综合上述信息回答下列问题：

(1)、 $a =$ ； $b =$ ；

(2)、某班有3男1女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由．

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20. 如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．

(1)、求证：△ADE∽△DBE；

(2)、若DE＝2 $\sqrt{10}$ cm，AE＝8cm，求DC的长．

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21. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点．

(1)、求证：∠ACD＝∠DEC；

(2)、延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长．

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22. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ 和点 $C$ ．

(1)、若点 $C (0 ， 3)$ ，求二次函数表达式；

(2)、若 $a > 0 ， C (m ， n)$
①当 $- 1 \leq m \leq 4$ 时，求 $n$ 最大值与最小值的差（用含 $a$ 的代数式表示）
②证明： $a m^{2} + b m \geq a + b$ ．

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23. 阅读素材，完成任务．

测试机器人行走路径
素材一	图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行 $b_{n}$ （表示第 $n$ 次行走的路程），再逆时针旋转 $α (0 ° < α \leq 90 °)$ ，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为 $l$ ，所走路径形成的封闭图形的面积为S ．
素材二	如图2，当每次直行路程均为1（即 $b_{n} = 1$ ）， $α = 60 °$ 时，机器人的运动路径为 $A \to B \to C \to D \to E \to F \to A$ ，机器人共走的路程 $l = 6$ ，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为 $S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
素材三	如图4，若 $α = 60 °$ ，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
解决问题
任务	固定变量	探索变量	探索内容
任务一	直行路程 $b_{n}$ $b_{n} = 1$	旋转角度 $α$ 与路程 $l$	$α$	$30 °$	$45 °$	$72 °$
			$l$
任务二	旋转角度 $α$	直行路程 $b_{n}$	若 $α = 60 ° ， b_{1} = 2 ， b_{2} = 4 ， b_{3} = 1.5 ， b_{4} = 3$ ，求 $b_{5}$ 与 $b_{6}$ 的值．
任务三	旋转角度 $α$ ，路程 $l$	路径形成的封闭图形面积S ．	若 $α = 60 ° ， l = 20 ， b_{1} = 2 ， b_{2} = 4$ ，请直接写出 $b_{3}$ 与 $b_{4}$ 之间的数量关系，并求出当S最大时 $b_{4}$ 的值．

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课题	选择次数	频率
$A$ “视力的变化”	4	$a$
$B$ “哪种方式更合算”	$b$	$0.4$
$C$ “设计遮阳棚”	20	$0.5$