吉林省长春市绿园区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x ⩽ - 3$ B、 $x > - 3$ C、 $x ⩾ - 3$ D、 $x ⩾ 3$

查看试题解析
2. 二次函数 $y = - 4 (x - 2)^{2} - 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 5)$ B、 $(2 ， 5)$ C、 $(- 2 ， - 5)$ D、 $(2 ， - 5)$

查看试题解析
3. 下列二次根式中，能与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{28}$ B、 $\sqrt{24}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{8}$

查看试题解析
4. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D E / / B C$ ， $A D = 9$ ， $D B = 3$ ， $C E = 2$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

查看试题解析
5. 如图，在平面直角坐标系中，将点 $A (3 ， 2)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(- 2 ， - 3)$ D、 $(- 1 ， 3)$

查看试题解析
6. 如图， $Δ A B C$ 与 $Δ D E F$ 位似，其位似中心为点 $O$ ，且 $D$ 为 $A O$ 的中点，则 $Δ A B C$ 与 $Δ D E F$ 的面积比是（）

A、 $2 ： 1$ B、 $4 ： 1$ C、 $3 ： 1$ D、 $9 ： 1$

查看试题解析
7. 如图，电线杆 $A B$ 直立在水平的地面 $B C$ 上， $A C$ 是电线杆 $A B$ 的一根拉线，测得 $B C = 5$ ， $∠ A C B = 52 °$ ，则拉线 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{t a n 52 °}$ B、 $\frac{5}{c o s 52 °}$ C、 $5 \cdot c o s 52 °$ D、 $\frac{5}{s i n 52 °}$

查看试题解析
8. 若抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $y$ 轴，且点 $P (2 ， 6)$ 在该抛物线上，则 $c$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

查看试题解析

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9. $\sqrt{{(- 2)}^{4}} =$ ．

查看试题解析
10. 计算： $\sqrt{8} \div \sqrt{18} =$ ．

查看试题解析
11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - a = 0$ 有一个根为 $x = 2$ ，则 $a$ 的值为．

查看试题解析
12. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围为．

查看试题解析
13. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是．

查看试题解析
14. 如图，一抛物线型拱桥的拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为米．

查看试题解析

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 计算： $\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

查看试题解析
16. 解方程： $2 x^{2} - 4 x = 6 - 3 x$ ．

查看试题解析
17. 某厂一月份产值为64万元，计划三月份产值要达100万元．若每个月的平均增长率相同，求平均增长率是多少．

查看试题解析
18. 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，每张卡片除了标记不同外，其余均相同．某同学第一次从盒子中随机抽取一张卡片，卡片放回，第二次又随机抽取一张卡片，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片完全相同的概率．

查看试题解析
19. 图①、图②均为 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， $Δ A B C$ 的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②中各画一个与 $Δ A B C$ 相似（相似比不为1），且不全等的三角形（要求三角形的顶点都在格点上）

查看试题解析
20. 如图， $C A ⊥ A D$ ， $E D ⊥ A D$ ，点 $B$ 是线段 $A D$ 上的一点，且 $C B ⊥ B E$ ．已知 $A B = 8$ ， $A C = 6$ ， $D E = 4$ ．

(1)、求证： $Δ A B C ∽ Δ D E B$ ．

(2)、求线段 $B D$ 的长．

查看试题解析
21. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，抛物线的顶点为 $C$ ．

(1)、直接写出 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点的坐标；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

查看试题解析
22. 角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角的两边距离的关系，小明发现将角平分线放在三角形中，还可以得出一些线段比例的关系．
请完成下列探索过程：

(1)、【初步思考】
如图1，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点 $D$ ．若 $A B = 4$ ， $B C = 7$ ，则 $\frac{S_{Δ A B D}}{S_{Δ C B D}} =$ ；

(2)、【深入探究】
如图1，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点 $D$ ．求证： $\frac{A B}{B C}$ = $\frac{A D}{C D}$ ；

(3)、【应用迁移】
如图2， $Δ A B C$ 和 $Δ E C D$ 都是等边三角形， $Δ A B C$ 的顶点 $A$ 在 $Δ E C D$ 的边 $E D$ 上， $C D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，若 $A E = 4$ ， $A D = 2$ ，直接写出 $Δ C F B$ 的面积．

查看试题解析
23. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $A B = 4$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A B$ 方向以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，点 $Q$ 为线段 $A P$ 的中点，过点 $P$ 向上作 $P M ⊥ A B$ ，且 $P M = 3 A Q$ ，以 $P Q$ 、 $P M$ 为边作矩形 $P Q N M$ ．设点 $P$ 的运动时间为（t>0）秒．

(1)、线段 $M P$ 的长为（用含的代数式表示）．

(2)、当点N恰好落在边 $B C$ 上时，求的值．

(3)、当点 $N$ 在 $Δ A B C$ 内部时，设矩形 $P Q N M$ 与 $Δ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，求 $S$ 与之间的函数关系式．

(4)、当点 $M$ 恰好落在 $Δ A B C$ 的角平分线上时，直接写出的值．

查看试题解析
24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c (b$ 、 $c$ 是常数）经过点 $(0 ， - 3)$ ， $(2 ， 5)$ ．点 $A$ 在抛物线上，且点 $A$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数表达式．

(2)、求点 $A$ 关于抛物线 $y = x^{2} + b x + c (b$ 、 $c$ 是常数）的对称轴对称的点 $A^{/}$ 的坐标（用含 $m$ 的代数式表示）．

(3)、当点 $A$ 在 $x$ 轴上方时，直接写出 $m$ 的取值范围．

(4)、若此抛物线在点 $A$ 及点 $A$ 左侧部分的最低点的纵坐标为 $1 - 2 m$ ，求 $m$ 的值．

查看试题解析