吉林省四平市双辽市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列事件中是必然事件的是（）

A、守株待兔 B、刻舟求剑 C、瓮中捉鳖 D、百步穿杨

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2. 方程3x²-2x-6＝0，一次项系数为（）

A、-2 B、-2x C、-6 D、6

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3. 在 $2022$ 年的卡塔尔世界杯中，阿根廷守门员马丁内斯表现突出，他大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致是如图中的（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，若 $S_{△ A D E} = 1$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 13$ ， $B C = 5$ ，则 $c o s A$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{12}{13}$

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6. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(- 1，3)$ ，那么 $k$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

7. 方程 $x^{2} = 6 x$ 的解为．

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8. 二次函数 $y = (x - 2)^{2} + 4$ 的顶点坐标是．

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9. 已知反比例函数 $y = \frac{m + 4}{x}$ 的图象位于第二、第四象限，则 $m$ 的取值范围为．

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10. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．

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11. 如图，已知 $∠ A O B$ 是 $⊙ O$ 的圆心角， $∠ A C B = 31 °$ ，则圆心角 $∠ A O B$ 的度数是．

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12. 如图，飞机 $P$ 在目标 $A$ 的正上方，飞行员测得目标 $B$ 的俯角为 $30 °$ ，那么 $∠ A P B$ 的度数为 $° .$

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13. 如图，一条公路 $($ 公路的宽度忽略不计 $)$ 的转弯处是一段圆弧 $\overset{⏜}{A B}$ ，点 $O$ 是这段弧所在圆的圆心，半径 $O A = 90 m$ ，圆心角 $∠ A O B = 80 °$ ，则这段弯路 $\overset{⏜}{A B}$ 的长度为 $m .$

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14. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则 $y > 0$ 时，对应的 $x$ 的取值范围为．

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三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 计算： $t a n 60 ° + s i n 30 ° - t a n 45 ° \cdot c o s 30 °$ ．

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16. 已知 $y$ 是 $x$ 的反比例函数，并且当 $x = 4$ 时， $y = - 5$ ．

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、求 $y = 2$ 时 $x$ 的值．

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17. 阅读材料：对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图．
尝试应用：将图 $①$ 分成面积相等的两部分 $($ 不写作法，保留作图痕迹 $)$ ；

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18. $12$ 月 $18$ 日卡塔尔世界杯闭幕 $.$ 小明搜集到三张如图所示的不透明的卡片，正面图案分别是吉祥物 $l a ’ e e b$ ，足球 $A L R I H L A$ 和大力神杯，依次记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，卡片除正面图不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀 $.$ 小明从中随机抽取一张，记录图案放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张 $.$ 用画树状图 $($ 或列表 $)$ 的方法，求小明两次抽到图案不相同的概率．

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19. 已知函数 $y = x^{2} + 2 m x + m - 1 (m$ 为常数 $)$ ．

(1)、若该函数图象与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴上方，求 $m$ 的取值范围；

(2)、求证：不论 $m$ 取何值，该函数图象与 $x$ 轴总有两个公共点．

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20. 某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长 $40$ 米、宽 $28$ 米的矩形空地上．如图，空地被划分出 $6$ 个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为 $128$ 平方米，小路的宽应为多少米？

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21. 小琪要测量某建筑物的高度 $.$ 如图，小琪在点 $A$ 处测得该建筑物的最高点 $C$ 的仰角为 $31 °$ ，再往该建筑物方向前进 $30 m$ 至点 $B$ 处测得最高点 $C$ 的仰角为 $45 ° .$ 根据测得的数据，计算该建筑物的高度 $C D ($ 结果取整数 $)$ ．参考数据： $s i n 31 ° \approx 0.52$ ， $c o s 31 ° \approx 0.86$ ， $t a n 31 ° \approx 0.60$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (- 3，1)$ ， $B (- 4 ， - 2)$ ， $C (1 ， - 1)$ ．

(1)、经过一次平移，将 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 平移到点 $A_{1} (2，1)$ ，请在图 $1$ 中画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出平移距离；

(2)、在图 $2$ 中画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称的图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并直接写出点 $A_{2}$ 的坐标．

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23. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (n ， 3)$ ， $B (- 3 ， - 2)$ 两点．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)、过点 $A$ 作 $A C ⊥ y$ 轴，垂足为 $C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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24. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $P$ 为 $A D$ 边中点， $∠ E P F = 90 °$ ， $∠ E P F$ 绕点 $P$ 旋转，其中点 $E$ ， $F$ 在矩形 $A B C D$ 的边上.在旋转过程中，请探究：

(1)、矩形 $A B C D$ 的边落在 $∠ E P F$ 内部的线段长的和是否发生变化？为什么？

(2)、矩形 $A B C D$ 与 $∠ E P F$ 重叠部分的面积是否发生变化？为什么？

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从 $A$ 点出发沿 $A B$ 边向 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动，点 $Q$ 从 $B$ 点出发沿 $B C$ 向 $C$ 点以 $2 c m / s$ 的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：

(1)、经过多少时间， $△ P B Q$ 的面积是 $5 c m^{2}$ ，此时， $P Q$ 长为多少 $c m$ ．

(2)、探究：是否存在某一时刻 $t$ ，使 $S_{四边形 A P Q C} = \frac{5}{12} S_{△ A B C}$ ，如果存在，求出 $t$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1，0)$ 和 $B (4，0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ，点 $F$ 是位于 $x$ 轴上方对称轴上一点， $F C / / x$ 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点 $C$ ，四边形 $O E C F$ 是平行四边形，求点 $C$ 的坐标；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，连接 $O C$ ， $x$ 轴上方的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ O C P$ 是直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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