2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第五章）培优卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，按下列步骤作图：
第一步：在 $A B 、 A C$ 上分别截取 $A D 、 A E$ ，使 $A D = A E$ ；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于 $D E$ 的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线 $A F$ 交 $B C$ 于点M；
第四步：过点M作 $M N ⊥ A B$ 于点N．
下列结论一定成立的是（）

A、 $C M = M N$ B、 $A C = A N$ C、 $∠ C A M = ∠ B A M$ D、 $∠ C M A = ∠ N M A$

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3. 如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是（）

A、45° B、60° C、75° D、70°

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4. 如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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5. 如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（）

A、 $△ A B C$ 的三条中线的交点处 B、 $△ A B C$ 三边的垂直平分线的交点处 C、 $△ A B C$ 三条角平分线的交点处 D、 $△ A B C$ 三条高所在直线的交点处

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6. 等腰三角形的一个角是50°，则它顶角的度数是（）

A、80°或50° B、80° C、80°或65° D、65°

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7. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（）

A、AC＝A′C′ B、BO＝B′O C、AA′⊥MN D、AB $∥$ B′C′

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8.
如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（　　）

A、48° B、36° C、30° D、24°

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， AD平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③ $A D ⊥ B C$ 且 $B D = C D$ ；④ $∠ B D E = ∠ C D F$ ．其中正确的是（）

A、①④ B、②④ C、②③④ D、①②③④

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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二、填空题

11. 如图，已知 $∠ A B C = 50 °$ ，点D在 $B A$ 上，以点B为圆心， $B D$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点E，连接 $D E$ ，则 $∠ B D E$ 的度数是度．

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12. 如图， $a ∥ b$ ，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线 $E F$ ，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若 $∠ C D A = 34 °$ ，则 $∠ C A B$ 的度数为．

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13. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是。

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14. 如图，在Rt $△$ ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为°．

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15. 如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E ， F分别是BC ， DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 7$ ． $M N$ 为 $B C$ 边上的垂直平分线，若点D在直线 $M N$ 上，连接 $A D$ ， $B D$ ，则 $△ A B D$ 周长的最小值为．

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三、解答题

17. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知 $△ A B C$ 的三个顶点在格点上．

(1)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 关于直线a对称；

(2)、求出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积；

(3)、在直线a上画出点P，使 $P A + P C$ 最小

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18. 已知：如图，AD平分∠CAB，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC的延长线于点N，且∠NCD=∠B．求证：CN=BM．

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19. 如图，点D是线段 $B C$ 的中点， $A D ⊥ B C$ ，点P是线段 $A D$ 上的一点，射线 $B P$ 交边 $A C$ 于点E ， $E H ⊥ A B$ 于点H ，过B作 $B F ⊥ A C$ 于点F ．

(1)、求证： $∠ B A D = ∠ C B F$ ；

(2)、如果 $P D = B D$ ，求证： $E F = E H$ ．

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20. 已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M.

(1)、若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；

(2)、求证：AC＝BM+CM．

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21. 如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且∠BDP=∠CEP．

(1)、求证：△BDP≌△CEP ．

(2)、若PD⊥AB ， ∠A＝110°，求∠EPC的度数．

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22. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

(1)、求证：BE=CF；

(2)、如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．

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23. 数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P ，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B ， A'B与直线l的交点即为点P ．此时PA+PB的值最小．

(1)、模型应用：
如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm ， P为AH上一动点，D为AB的中点．
①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则PD+PB的最小值为 ▲ cm ．

(2)、模型变式：
如图3所示，某地有块三角形空地AOB ，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR ， 点Q、R分别是OA ， OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值.

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24. 综合与实践

(1)、问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在 $O A$ 和 $O B$ 上分别取点C和D，使得 $O C = O D$ ，连接 $C D$ ，以 $C D$ 为边作等边三角形 $C D E$ ，则 $O E$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线．

请写出 $O E$ 平分 $∠ A O B$ 的依据：；

(2)、类比迁移：
小明根据以上信息研究发现： $△ C D E$ 不一定必须是等边三角形，只需 $C E = D E$ 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 $∠ A O B$ 的边 $O A$ ， $O B$ 上分别取 $O M = O N$ ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，请说明此做法的理由；

(3)、拓展实践：

小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 $A B$ 和 $A C$ ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

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