2013年高考理数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）

A、（﹣∞，2] B、[1，2] C、[﹣2，2] D、[﹣2，1]

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2. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x + y - 6 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）

A、﹣7 B、﹣4 C、1 D、2

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3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）

A、64 B、73 C、512 D、585

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4. 已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，则其体积缩小到原来的 $\frac{1}{8}$ ；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切．
其中真命题的序号是（）

A、①②③ B、①② C、①③ D、②③

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 $\sqrt{3}$ ，则p=（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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6. 在△ABC中， $∠ A B C = \frac{π}{4}, A B = \sqrt{2}, B C = 3$ ，则sin∠BAC=（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7. 函数f（x）=2^x|log_0.5x|﹣1的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \subseteq A$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0)$ B、 $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0)$ C、 $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (0, \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$ D、 $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

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二、填空题

9. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi= ．

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10. ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项为．

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11. 已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为 $(4 ， \frac{π}{3})$ ，则|CP|= ．

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12. 在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若 $\vec{A C} \cdot \vec{B E} = 1$ ，则AB的长为．

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13. 如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．

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14. 设a+b=2，b＞0，则当a=时， $\frac{1}{2 | a |} + \frac{| a |}{b}$ 取得最小值．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = - \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 6 \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1 ， x \in R$ ．

(1)、求f（x）的最小正周期；

(2)、求f（x）在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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16. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．

(1)、求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．

(2)、在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

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17. 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．

(1)、证明B₁C₁⊥CE；

(2)、求二面角B₁﹣CE﹣C₁的正弦值．

(3)、设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，求线段AM的长．

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18. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若 $\vec{A C} \cdot \vec{D B} + \vec{A D} \cdot \vec{C B}$ =8，求k的值．

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19. 已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列{a_n}不是递减数列，其前n项和为S_n（n∈N^*），且S₃+a₃ ， S₅+a₅ ， S₄+a₄成等差数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = S_{n} - \frac{1}{S_{n}} (n \in N *)$ ，求数列{T_n}的最大项的值与最小项的值．

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20. 已知函数f（x）=x²lnx．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．

(3)、设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e²时，有 $\frac{2}{5} < \frac{lng (t)}{\ln t} < \frac{1}{2}$ ．

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