2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第一章）培优卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（）

A、 $1.4 \times 1 0^{- 8}$ B、 $14 \times 1 0^{- 7}$ C、 $0.14 \times 1 0^{- 6}$ D、 $1.4 \times 1 0^{- 9}$

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2. 已知实数m，n满足 $m^{2} + n^{2} = 2 + m n$ ，则 ${(2 m - 3 n)}^{2} + (m + 2 n) (m - 2 n)$ 的最大值为（）

A、24 B、 $\frac{44}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、-4

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3. 已知 $10^{a} = 20$ ， $100^{b} = 50$ ，则 $\frac{1}{2} a + b + \frac{3}{2}$ 的值是（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{9}{2}$

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4. 已知 $x - \frac{1}{x} = 2$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 若 $(x^{2} - x + m) (x - 8)$ 中不含x的一次项，则m的值为（ $)$

A、8 B、 $- 8$ C、0 D、8或 $- 8$

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6. 若a=5²² ， b=3⁴⁴ ， c=4³³ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、a<c<b B、a<b<c C、c<a<b D、b<c<a

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7. 计算 $(- 2)^{2022} ＋ (- 2)^{2023}$ 的结果是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 2^{2022}$ D、 $2^{2023}$

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8. 对于(2a+3b-1)(2a-3b+1)，为了用平方差公式计算，下列变形正确的是（）

A、[2a-(3b+1)]² B、[2a+(3b-1)][2a-(3b-1)] C、[(2a-3b)+1][(2a-3b)-1] D、[2a-(3b-1]²

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9. 从边长为 $a$ 的大正方形纸板挖去一个边长为 $b$ 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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10. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为 $a + 2 b$ 的正方形，需要 $B$ 类卡片的张数为（）

A、6 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 若 $(x - 2022)^{2} + (x - 2024)^{2} = 100$ ，则 $(x - 2023)^{2} =$ ．

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12. 已知2^a=3，2^b=5， 2^c=15，那么a、b、c之间满足的等量关系是

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13. 若 $a^{n} = b (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0)$ ，则 $n$ 叫做以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记为 $l o g_{a}$ $b$ （即 $l o g_{a}$ $b = n)$ ，如 $3^{4} = 81$ ，则4叫做以3为底81的对数，记为 $l o g_{3} 81$ （即 $l o g_{3} 81 = 4)$ ．则 $l o g_{2} 64$ 的值为．

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14. 已知 $a^{2} - b^{2} = 5$ ，则 $(a + b)^{2} (a - b)^{2}$ 的值是．

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15. 若关于 $x$ 的二次三项式 $4 x^{2} + (m - 2) x + \frac{1}{64}$ 是完全平方式，则 $m$ 的值为．

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16. 如图，从边长为 $(a + 4) c m$ 的正方形纸片中剪去一个边长为 $(a + 2) c m$ 的正方形 $(a > 0)$ ，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 $c m^{2}$ .

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三、解答题

17. 计算与化简：

(1)、计算： $- (- 1)^{2022} \times (π - 3)^{0} - | - 5 | - (- \frac{1}{2})^{- 3}$ ；

(2)、化简： $(x - 2)^{2} + (x + 1) (1 - x)$ .

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18. 计算：

(1)、 ${(- 3 x^{2} y)}^{2} \cdot (6 x y^{3}) \div (9 x^{3} y^{4})$ ；

(2)、 ${(- 3)}^{2} + | \frac{1}{4} - 1 | - {(π - 3.14)}^{0} + 2^{- 2}$ ．

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19. 先化简，再求值： $[(x + y) (x - y) + {(x - 2 y)}^{2} - 3 y^{2}] \div (- 2 x)$ ，其中 $x = - 3$ ， $y = \frac{1}{2}$ .

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20. 先化简，再求值： $(2 x + y)^{2} - (2 x + y) (2 x - y) - 2 y (x + y)$ ，其中 $x = {(\frac{1}{2})}^{2023}$ ， $y = 2^{2022}$ ．

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21. 如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形.

(1)、图1，阴影面积是；

(2)、图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是；（写成多项式乘法的形式）.

(3)、由上图可以得到乘法公式；

(4)、运用得到的公式，计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) ⋯ (1 - \frac{1}{10 0^{2}})$ .

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22. 两个边长分别为 $a$ 和 $b$ 的正方形如图1放置，其未叠合部分 $($ 阴影 $)$ 面积为 $S_{1}$ ，在图 $1$ 个大正方形的右下角再摆放一个边长为 $b$ 的小正方形 $($ 如图 $2)$ ，记两个小正方形叠合部分 $($ 阴影 $)$ 面积为 $S_{2}$ ．

(1)、用含 $a$ 、 $b$ 的代数式分别表示 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ；

(2)、若 $a + b = 8$ ， $a b = 15$ ，求 $S_{1} + S_{2}$ 值；

(3)、当 $S_{1} + S_{2} = 72$ 时，求出图 $3$ 中阴影部分的面积 $S_{3}$ ．

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23. 【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 进行配方

解： $x^{2} - 2 x + 3 = x^{2} - 2 x + 1 + 2 = (x^{2} - 2 x + 1) + 2 = {(x - 1)}^{2} + 2$

我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$ ，再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ ，（x，y是整数）所以M也是“完美数”

(1)、【问题解决】
下列各数中，“完美数”有．（填序号）
①10 ②45 ③28 ④29

(2)、若二次三项式 $x^{2} - 6 x + 13$ （ $x$ 是整数）是“完美数”，可配方成 ${(x - m)}^{2} + n$ （m， $n$ 为常数），则 $m n$ 的值为；

(3)、【问题探究】
已知 $S = x^{2} + 9 y^{2} + 8 x - 12 y + k$ （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值．

(4)、【问题拓展】
已知实数x，y满足 $- x^{2} + 7 x + y - 10 = 0$ ，求 $x + y$ 的最小值．

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24. 乘法公式的探究及应用．

(1)、，阴影部分的面积可表示为； $($ 用含字母 $a$ ， $b$ 的式子表示 $)$

(2)、如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是 $. ($ 均用含字母 $a$ ， $b$ 的代数式表示 $)$

(3)、比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式； $($ 用式子表达 $)$

(4)、运用你所得到的公式，计算下列各题：
① $202 2^{2} - 2021 \times 2023$ ；
② $(2 m + n + p) (2 m + n - p)$ ．

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