2024年北师大版数学七年级下册周测卷（第一章第5-7节）培优卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(x + 2) (x + 2)$ B、 $(- x + y) (x - y)$ C、 $(2 x - y) (2 x + y)$ D、 $(- x - y) (x + y)$

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2. 若k为任意整数，则 $(2 k + 3)^{2} - 4 k^{2}$ 的值总能（）

A、被2整除 B、被3整除 C、被5整除 D、被7整除

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3. 观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（）

A、（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b² B、a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b） C、（a+b）²＝a²+2ab+b² D、a²+2ab+b²＝（a+b）²

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4. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= $\frac{m^{2} - n^{2}}{4}$ ；③x²-y²=mn；④x²+y²= $\frac{m^{2} - n^{2}}{2}$ ，中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③ D、①②③④

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5. 已知（a+b）²＝49，a²+b²＝25，则ab＝（）

A、24 B、48 C、12 D、2 $\sqrt{6}$

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6. 将多项式4x²+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）²的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（）

A、2x B、﹣4x C、4x⁴ D、4x

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7. 若 $a = 2022 \times 2023 + 1$ ， $b = 202 2^{2} - 2022 \times 2023 + 202 3^{2}$ ，在下列判断结果正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a = b$ C、 $a > b$ D、无法判断

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8. 如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，则该长方形的面积是（）

A、2cm² B、2a(cm²) C、4a(cm²) D、(a²-1)cm²

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9. 4张长为a、宽为 $b (a > b)$ 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 $(a + b)$ 的正方形，图中空白部分的面积为 $S_{1}$ ，阴影部分的面积为 $S_{2}$ ．若 $S_{1} = 2 S_{2}$ ，则a、b满足（）

A、 $2 a = 5 b$ B、 $2 a = 3 b$ C、 $a = 3 b$ D、 $a = 2 b$

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10. 若 $\frac{(9^{2} - 1) (11^{2} - 1)}{k} = 8 \times 10 \times 12$ ，则 $k =$ （）

A、12 B、10 C、8 D、6

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二、填空题

11. 已知 $4 m^{2} - 9 n^{2} = 26 ， 2 m + 3 n = 13$ ，则 $2 m - 3 n =$ .

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12. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， $(a + b)^{7}$ 展开的多项式中各项系数之和为．

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13. 一个长方形，它的面积为6a²﹣9ab+3a，已知这个长方形的长为3a，则宽为．

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14. 已知a+ $\frac{1}{a}$ =3，则a²+ $\frac{1}{a^{2}}$ 的值是．

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15. 如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为．

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16. 若实数m满足（m-2023）²+（2024-m）²＝2025，则（m-2023）（2024-m）＝．

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三、解答题

17. 用乘法公式计算：

(1)、40 $\frac{2}{3}$ ×39 $\frac{1}{3}$ ；

(2)、 $\frac{2012}{2012^{2} - 2013 \times 2011}$ .

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18. 先化简，再求值： $[(2 a + 3 b) (2 a - 3 b) - (2 a - b)^{2} - 3 a b] \div (- 2 b)$ ，其中 $a = 2$ ， $b = - 1$

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19. 先化简，再求值： $[{(3 x - 2 y)}^{2} - (x - y) (9 x + 2 y)] \div (- \frac{1}{2} y)$ ，其中x＝1，y＝－2

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20. 先化简，再求值： $[(2 x - y) (x + 2 y) - {(x + y)}^{2} + 3 y^{2}] \div x$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - \frac{1}{3}$ ．

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21. 先化简，再求值：
$[{(x + 2 y)}^{2} - (x + y) (3 x - y) - 5 y^{2}] \div 2 x$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = \frac{1}{2}$

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22. 观察以下等式：
第1个等式： $3^{2} - 1^{2} = 8 = 8 \times 1$ ；
第2个等式： $5^{2} - 3^{2} = 16 = 8 \times 2$ ；
第3个等式： $7^{2} - 5^{2} = 24 = 8 \times 3$ ；
第4个等式： $9^{2} - 7^{2} = 32 = 8 \times 4$ ；
……
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：．

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式（用含 $n$ 的式子表示），并证明．

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23. 聪聪和同学们用2张 $A$ 型卡片、2张 $B$ 型卡片和1张 $C$ 型卡片拼成了如图所示的长方形．其中 $A$ 型卡片是边长为 $a$ 的正方形； $B$ 型卡片是长方形； $C$ 型卡片是边长为 $b$ 的正方形．

(1)、请用含a、b的代数式分别表示出 $B$ 型卡片的长和宽；

(2)、如果 $a = 10$ ， $b = 6$ ，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．

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24. 如图，将两个长方形用不同方式拼成图 $1$ 和图 $2$ 两个图形．

(1)、若图 $1$ 中的阴影部分面积为 $a^{2} - b^{2}$ ，则图 $2$ 中的阴影部分面积为 $($ 用含字母 $a$ ， $b$ 的代数式表示 $)$ ；

(2)、由 $(1)$ 你可以得到的等式是；

(3)、根据你所得到的等式解决下面的问题：
$①$ 若 $x^{2} - y^{2} = 16$ ， $x - y = 2$ ，则 $x + y =$ _▲_ ；
$②$ 计算： $77.7 5^{2} - 22.2 5^{2}$ ．
$③$ 解方程： $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = - 8$ ．

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25. 图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)、图2中阴影部分的面积为.

(2)、观察图2，三个代数式(m+n)² ， (m-n)² ， mn之间的等量关系是.

(3)、若x+y=-6，xy=2.75，求x-y的值．

(4)、观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？

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二、填空题

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