2024年北师大版数学七年级下册周测卷（第一章第1-2节）培优卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 计算a³•a的结果是（　　）

A、a² B、a³ C、a⁴ D、a⁵

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2. 不一定相等的一组是（）

A、 $a + b$ 与 $b + a$ B、 $3 a$ 与 $a + a + a$ C、 $a^{3}$ 与 $a \cdot a \cdot a$ D、 $3 (a + b)$ 与 $3 a + b$

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3. 若2ⁿ+2ⁿ+2ⁿ+2ⁿ=2，则n=（）

A、﹣1 B、﹣2 C、0 D、 $\frac{1}{4}$

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4. 计算： $(- \frac{1}{2} x^{2} y)^{3} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} x^{6} y^{3}$ B、 $- \frac{1}{8} x^{2} y^{3}$ C、 $- \frac{1}{8} x^{6} y^{3}$ D、 $- \frac{3}{2} x^{5} y^{4}$

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5. 下列运算中，结果正确的是（）

A、 $3 a^{2} + 2 a^{2} = 5 a^{4}$ B、 $a^{3} - 2 a^{3} = a^{3}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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6. 已知 $9^{m} = 3 ， 27^{n} = 4$ ，则 $3^{2 m + 3 n} =$ （）

A、1 B、6 C、7 D、12

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7. 已知a=8³³ ， b=16²⁵ ， c=32¹⁹ ，则有（）

A、a<b<c B、c<b<a C、c<a<b D、a<c<b

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8. 19⁹³+93¹⁹的个位数字是（　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出 $2^{x}$ 个球放入乙袋，再从乙袋中取出 $(2^{x} + 2^{y})$ 个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 $2^{y}$ 个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则 $2^{x + y}$ 的值等于（）

A、128 B、64 C、32 D、16

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10. 为了求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}$ 的值，可设 $s = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}$ ，等式两边同乘以 $2$ ，得 $2 s = 2 (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}) = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{51}$ ，所以得 $2 s - s = (2 + 2^{2} +$ $2^{3} + \dots + 2^{51}) - (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}) = 2^{51} - 1$ ，所以 $s = 2^{51} - 1$ ，即： $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} +$ $\dots + 2^{50}$ ＝ $2^{51} - 1$ .仿照以上方法求 $1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{2020}$ 的值为（）

A、 $5^{2021} - 1$ B、 $5^{2020} - 1$ C、 $\frac{5^{2020} - 1}{4}$ D、 $\frac{5^{2021} - 1}{4}$

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二、填空题

11. 若 $2^{4} + 2^{4} = 2^{a}$ ， $3^{5} + 3^{5} + 3^{5} = 3^{b}$ ，则 $a + b =$ ．

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12. 若a^m= 4，a^2m+n= 128，则aⁿ=

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13. 计算： ${(- \frac{1}{3})}^{2023} \times 1 . 5^{2023} \times 2^{2023} =$ ．

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14. 观察下列等式：2+2²＝2³-2，2+2²+2³＝2⁴-2，2+2²+2³+2⁴＝2⁵-2…，若2⁵⁰＝m ，则2¹⁰¹+2¹⁰¹+2¹⁰²+…+2²⁰¹＝．（用含m的代数式表示）

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15. 已知 $2 a + 4 b - 4 = 0$ ，则 $9^{a} \times 8 1^{b} =$ ．

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16. 若x，y均为实数， $4 3^{x} = 2021 ， 4 7^{y} = 2021$ ，则 $\frac{x + y}{x y} =$ .

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三、解答题

17. 若 $- 2 x^{2 m - 1}$ 与 $y^{n - 4}$ 与 $7 x^{1 - n} y^{m - 1}$ 的积与 $x^{7} y^{3}$ 是同类项，求 $m$ 、 $n$ 的值．

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18. 已知2^a＝5，2^b＝1，求2^a+b+3的值．

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19. 已知 $4^{2 x} \cdot 5^{2 x + 1} - 4^{2 x + 1} \cdot 5^{2 x} = 20^{3 x - 4}$ ，求x的值；

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20. 已知n为正整数，且x²ⁿ=2，求（3x³ⁿ）²-4（x²）²ⁿ的值。

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21. 已知 $a = 2^{80}$ ， $b = 4^{50}$ ， $c = 8^{30}$ ，比较a，b，c的大小.

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22. 已知n为正整数，且x²ⁿ=4

(1)、求x^n-3·x³⁽ⁿ⁺¹⁾的值；

(2)、求9(x³ⁿ)²-13(x²)²ⁿ的值．

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23.
记M₍₁₎=－2，M₍₂₎=(－2)×(－2)，M₍₃₎=(－2)×(－2)×(－2)，……
(Ⅰ) 计算：M₍₅₎+M₍₆₎；
(Ⅱ) 求2M₍₂₀₁₅₎+M₍₂₀₁₆₎的值：
（Ⅲ）说明2M_(n)与M_(n+1)互为相反数．

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24. 阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ （m、n为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为： $a^{m n} = {(a^{m})}^{n} = {(a^{n})}^{m}$ （m、n为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如 $x^{6} = {(x^{2})}^{3} = {(x^{3})}^{2}$ ，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断 $3 2^{99}$ 的末尾数字，我们可以采用如下的方法：
解析： $3 2^{99}$ 的末尾数字等于 $2^{99}$ 的末尾数字
∵ $2^{1} = 2 ， 2^{2} = 4 ， 2^{3} = 8 ， 2^{4} = 16$ ，又 $1 6^{n}$ （n为正整数）的末尾数字均为6，
∴ $2^{99} = 2^{4 × 44} × 2^{3} = {(2^{4})}^{24} × 8 = 1 6^{24} × 8$ 的末尾数字是 $6 \times 8$ 的末尾数字，即为8．
∴ $3 2^{99}$ 的末尾数字为8
根据以上阅读材料，回答下列问题：

(1)、逆用幂的乘方，写出 $3^{38}$ 的末尾数字

(2)、试判断 $2 0^{1999} + 9 9^{2000}$ 的末尾数字

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25. 我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为 $a^{n + n} = a^{n} \cdot a^{n}$ ， $a^{n m} = {(a^{m})}^{n} = {(a^{n})}^{m}$ ， $a^{m} b^{m} = (a b)^{m}$ （m ， n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：

(1)、已知 $a = 2^{55} ， b = 3^{44} ， c = 4^{33}$ ，请把 $a ， b ， c$ 用“<”连接起来：．

(2)、若 $x^{a} = 2 ， x^{b} = 3$ ，求 $x^{3 a + 2 b}$ 的值．

(3)、计算： $2^{100} \times 8^{101} \times {(\frac{1}{4})}^{200}$ ．

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二、填空题

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