湖南省郴州市2023-2024学年九年级上学期期末质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 在双曲线 $y = \frac{1 - k}{x}$ 的每一支上，y随x的增大而增大，则k的值可以是（）

A、2 B、0 C、-2 D、1

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2. 某校七年级共有1200人，为了解这些学生的视力情况，随机抽查了20名学生的视力，对所得数据进行整理．若数据在4.85～5.15这一小组的频率为0.3，则可估计该校七年级学生视力在4.85～5.15范围内的人数有（）

A、600人 B、360人 C、120人 D、60人

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3. 下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）

A、 $x^{2} - x + 1 = 0$ B、 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ C、 $x^{2} + x - 1 = 0$ D、 $x^{2} + 4 = 0$

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4. 在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{\circ} ， A C = 5$ $B C = 12$ ，则cosA的值是（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{12}$

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5. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} (x + 2)^{2} - 3$ ，下列说法正确的是（）

A、顶点坐标为（2，-3） B、对称轴为 $x = 2$ C、函数的最小值是-3 D、当 $x > 0$ 时随x的增大而减小

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6. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度 $i = 1 ： \sqrt{3}$ 的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为 $2 \sqrt{3}$ m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（）

A、 $\sqrt{3}$ m B、4m C、3m D、 $4 \sqrt{3} m$

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7. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论中错误的是（）

A、 $a < 0$ B、b＞0 C、c＞0 D、 $b^{2} - 4 a c > 0$

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8. 已知点 A（-2，y₁），B（-1，y₂），C（3，y₃）均在反比例函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的图象上，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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9. 如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F.已知 $A F = 4$ ，则线段AE的长度为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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10. 如图所示，在ΔABC中，点D为BC上的点，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点E.已知 $\frac{E C}{A E} = \sqrt{2}$ ，则 $\frac{C D}{D B} =$ （）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 已知 $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{b}{a + b}$ 的值为

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12. 如图， $A D ∥ B E ∥ C F$ ，且 $A B = 4 c m$ ， BC=6cm，DF=15cm，则 $E F =$ cm.

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13. 将抛物线 $y = x^{2} + 1$ 先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的表达式为

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14. 已知方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 可配方成 $(x + n)^{2} = 3$ ，则 $m n =$

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15. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ΔABC的顶点A、B、C均落在格点上，则 $c o s ∠ A B C =$

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16. 如图，在 $R t Δ A O B$ 中， $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ .反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0) ， y = \frac{k}{x} (x < 0)$ ）的图象分别过A，B两点.若 $t a n ∠ B A O = \frac{1}{2}$ ，则k的值是。

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三、解答题（本大题共9个小题，第17-19题每题6分，第20-23题每题8分，第24-25题每题11分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解方程： $x (x + 1) - (2 x + 2) = 0$

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18. 如图，已知直线 $y = x + 4$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于点A（2，a），与x轴相交于点B．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、求ΔAOB的面积.

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19. 如图，在平面直角坐标系中， BC三个顶点分别为 $A (- 4，6) ， B (2，2) ， C (6，4) .$

(1)、以坐标原点O为位似中心，位似比为 $\frac{1}{2}$ ，将ΔABC作位似变换后得到 $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，请在平面直角坐标系中画出 $∆ A^{'} B^{'} C^{'}$

(2)、设ΔABC与 $Δ A^{'} B^{'}$ C＇面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，试求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值

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20. 某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

(1)、这次学校抽查的学生人数是

(2)、将条形图补充完整；

(3)、扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是度；

(4)、如果该校共有1800人，请估计该校不合格的人数．

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21. 某公园内建了一座纪念塔，纪念塔庄严肃穆，雄伟壮观．某数学活动小组欲测量纪念塔AB的高度.如图，他们选取的测量点D、C与纪念塔的底部B在同一水平线上.在D处测得纪念塔顶部A的仰角为30°，向前走20.6米到达C处，在C处测得纪念塔顶部A的仰角为45°，求纪念塔AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73) .$

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22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆256人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆达到576人次，若进馆人次的月平均增长率相同.

(1)、求进馆人次的月平均增长率；

(2)、因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由.

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23. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k - 2) x + (1 - k) = 0 .$

(1)、求证：不论k为何值时，此方程总有两个实数根；

(2)、当方程的一个根为 $x_{1} = 5$ 时，求方程的另一个根x₂及k的值．

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24. 如图，在RtΔABC中， $∠ A B C = 9 0^{\circ} ， B C = 2 A B$ .点D为线段AC上一动点（不与点A，C重合），把线段BD绕点B顺时针旋转90°后并延长为原来的2倍得到线段BF，连接CF，DF．

(1)、求证： $Δ A B D \sim Δ C B F ；$

(2)、求证：CF⊥AC；

(3)、已知 $A B = 4$ ，设 $A D = x$ ，在点D的运动过程中，ΔCDF的面积S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

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25. 抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 B（1，0），C（-3，0）两点，与y轴交于A点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，连接AC，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得 $∠ O Q C = \frac{1}{2} ∠ O A C ?$ 若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，
①连接PO与直线AC交于点D，求 $\frac{P D}{O D}$ 的最大值；
②过点P作y轴的垂线交y轴于点M，若ΔABO～ΔPAM，求此时点P的横坐标.

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