湖南省衡阳市南岳二中2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、选择题（共10小题）

1. 如果 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，那么x的取值范围是（　　）

A、x＞1 B、x≥1 C、x≤1 D、x＜1

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2. 将抛物线y＝x²向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（　　）

A、y＝x²+2x﹣3 B、y＝x²﹣2x+3 C、y＝x²+2x+3 D、y＝x²﹣2x﹣3

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3. 下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、等边三角形 B、平行四边形 C、菱形 D、对角线相等的四边形

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4. 如果关于x的一元二次方程(m﹣3)x²+3x+m²﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（）

A、3 B、﹣3 C、±3 D、0或﹣3

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5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B ，点C是线段OB上的点，连接AC ．点P在线段AC上，且AP＝PC ，函数y $= \frac{k}{x}$ （x＞0）的图象经过点P ．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（　　）

A、0＜k≤6 B、3≤k≤6 C、3≤k≤12 D、6≤k≤12

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6. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则 $\hat{A B}$ 的长度为（　　）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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7. 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，旋转角为α．若点A′落在AB上，则旋转角α的大小是（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 某实验中学有A ， B ， C三个阅览室，甲、乙两名同学先后随机选择其中的一个阅览室去阅读，则两人恰好在不同的阅览室阅读的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9. 方程2x²﹣ax+7＝0，有一根是 $\frac{1}{2}$ ，则另一根为（　　）

A、7 B、7.5 C、﹣7 D、15

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10. 在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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二、填空题（共6小题）

11. 若点P（a ， 2）与点Q（5，b）关于原点对称，则a＝， b＝．

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12. 一个圆形转盘的半径为2cm ，现将这个转盘分成若干个扇形，并分别相间涂上红、黄两种颜色，转动转盘10000次，指针指向红色区域为250次，请问指针指向红色区域的概率的估计值是．

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13. 关于x的方程x²﹣（n+2）x $+ \frac{1}{4}$ n²﹣1＝0有两个相等的实数根，则n＝．

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14. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 $\frac{7}{2}$ 平方米，则弧田弧所在的圆的半径为．

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15. 如图，小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为．

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16. 若a₁＝1 $+ \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}$ ， a₂＝1 $+ \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}$ ， a₃＝1 $+ \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}$ ， …，a_n＝1 $+ \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}$ ，其中n为正整数，则 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}} + \dots + \sqrt{a_{2022}}$ 的值是．

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三、解答题（共7小题）

17. 如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，PA $= 4 \sqrt{3}$ ．求：

(1)、∠POA的度数；

(2)、弦AB的长；

(3)、阴影部分的面积．

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18. 已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．
求证： $\hat{C D} = \hat{B D}$ ．

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19. 如图，已知抛物线y₁＝ax²+c和直线y₂＝2x+2都经过x轴、y轴上的点A和B

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、x取何值y₁＞y₂；

(3)、当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂若y₁≠y₂ ，取y₁、y₂中的最小值记为M；若y₁＝y₂ ，记M＝y₁＝y₂ ．例如：当x＝1时，y₁＝0，y₂＝4，y₁＜y₂ ，此时M＝0．若M＝1，求对应的x的值．

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20. 现有一个用铁网围成的长、宽之比为3：1的猪舍，需将面积扩大 $\frac{1}{3}$ ，方案有两种．方案一：再另外单独围一个正方形猪舍；方案二：将原猪舍改成正方形猪舍．请你参谋一下，你认为哪个方案比较好？为什么？

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21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C.

(1)、求证：△ADE∽△DBE；

(2)、若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长.

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22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？

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23. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点F是半径AO上一动点（不与O ， A重合），过点F作射线l⊥AB ，分别交弦AC ， $\hat{A C}$ 于H ， D两点，在射线l上取点E ，过点E作⊙O的切线EC ．

(1)、求证：EC＝EH ．

(2)、当点D是 $\hat{A C}$ 的中点时，若∠ABC＝60°，判断以O ， A ， D ， C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．

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