广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高三上学期1月期末质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {x ∣ 0 \leq x \leq 4} ， B = {x ∣ (x + 3) (x - 2) < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 3]$ C、 $[0 ， 2)$ D、 $(2 ， 3]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (i - 1) = 2 i$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $110 °$ ，则离心率为（）

A、 $\frac{1}{c o s 70 °}$ B、 $\frac{1}{s i n 70 °}$ C、 $2 s i n 70 °$ D、 $2 c o s 20 °$

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4. 已知 $A ， B$ 是平面 $α$ 上的点， $A_{1} ， B_{1}$ 是平面 $β$ 上的点，且 $A A_{1} ∥ B B_{1}$ ，则“ $A A_{1} = B B_{1}$ ”是“ $α ∥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n + 1} = 3 S_{n} + 2 ， n \in N^{*}$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、80 B、160 C、121 D、242

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6. 已知 $A_{i}$ 是边长为2的正六边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 的一个顶点，则 $\vec{A_{1} A_{4}} \cdot \vec{A_{2} A_{i}}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 8 ， 8]$ B、 $[- 4 ， 8]$ C、 $[- 4 ， 12]$ D、 $[- 8 ， 12]$

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7. 若函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 有最小值，没有最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{4}{3}]$ B、 $(\frac{4}{3} ， \frac{16}{3}]$ C、 $(\frac{10}{3} ， \frac{16}{3}]$ D、 $(\frac{10}{3} ， \frac{22}{3}]$

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8. 已知曲线 $E ： y = e^{x}$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，设 $E$ 经过原点的切线为 $l$ ，设 $E$ 上一点 $B$ 横坐标为 $m (m \neq 0)$ ，若直线 $A B ∥ l$ ，则 $m$ 所在的区间为（）

A、 $- 1 < m < 0$ B、 $0 < m < 1$ C、 $1 < m < \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} < m < 2$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，用垂直于 $A C_{1}$ 的平面截此正方体，则所得截面可能是（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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10. 已知 $a ， b \in R^{+}$ ，直线 $l_{1} ： x + (a - 2) y + 1 = 0 ， l_{2} ： 2 b x + y - 2 = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值是1 B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是 $\frac{4}{5}$ C、 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值是4 D、 $\frac{1}{a + 1} + \frac{2}{b}$ 的最小值是3

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11. 已知直线 $l ： y = x$ 与圆 $Γ ： (x - 2 k)^{2} + (y - k + 1)^{2} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、所有圆 $Γ$ 均不经过点 $(1 ， 1)$ B、若 $Γ$ 关于 $l$ 对称，则 $k = - 1$ C、若 $l$ 与 $Γ$ 相交于 $A B$ 且 $A B = \sqrt{2}$ ，则 $k = - 2$ D、存在圆 $Γ$ 与 $x$ 轴与 $y$ 轴均相切

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (3 - x) - f (x) = x^{2} - 12 x + 18 ， f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f (0) + f^{'} (0) = 0$ B、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $2 x - y - 1 = 0$ C、 $f (x) - f^{'} (x) \geq m$ 在 $R$ 上恒成立，则 $m \leq - 2$ D、 $\frac{f (x) - f^{'} (x) - 7}{e^{x}} \geq - 4 e$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在 $(x + 2)^{5} (1 - y)$ 的展开式中， $x^{4} y$ 的系数为．（用数字作答）

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14. 某同学收集了变量 $x ， y$ 的相关数据如下：
x
0.5
2
3
3.5
4
5
y
$y_{1}$
15
$y_{2}$
$y_{3}$
$y_{4}$
$y_{5}$
为了研究 $x ， y$ 的相关关系，他由最小二乘法求得 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 17$ ，经验证回归直线正好经过样本点 $(2 ， 15)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} =$ ．

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15. 已知抛物线 $Γ ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的顶点为 $O$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过 $F$ 的直线与 $Γ$ 在 $y$ 轴右侧交于点 $E$ ．若 $E$ 在 $l$ 上的射影为 $Q$ 且 $\sqrt{3} | F Q | = 4 | F O |$ ，则直线 $E F$ 的斜率为．

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16. 将正方形 $A B C D$ 延对角线 $B D$ 折起，当 $A C = 2 \sqrt{3}$ 时，三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则该三棱锥外接球的体积为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \sqrt{\frac{n + 1}{n}} a_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为6的正方形，高为4，点 $M ， N$ 分别在线段 $P C ， A B$ 上，且 $A N = 2 N B ， P C = 4 P M ， E$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B E ∥$ 平面 $D M N$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $D M N$ 所成角的正弦值．

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19. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，
从条件① $b c o s A + a c o s B - 2 c c o s C = 0$ ；
条件② $2 c c o s A + a = 2 b$ ；
条件③ $4 S = \sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ 中选择一个作为已知，并解答下列问题．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点， $D C = 3 ， D A = 1$ ，若 $∠ A B C = 60 °$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值．

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20. 在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优．现对每组的3个样本给出下面两种化验方法：
方法1：逐个化验；
方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验。若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判断这3个样本均为阴性。

(1)、若 $p = 0.4$ ，用随机变量 $Y$ 表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出 $Y$ 的分布列并计算 $E (Y)$ ．

(2)、若 $p = 0.25$ ，现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？

(3)、若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求 $p$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a l n (x + 1) (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的最值为 $a$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = \frac{1}{e^{n}} (n \in N^{*})$ 时，证明： $f (x) \geq (n + 1) a$ ．

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22. 在平面直角坐标系中，已知 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0) ， Q$ 为动点，且 $| F_{2} Q | = 4$ ，线段 $F_{1} Q$ 的垂直平分线交线段 $F_{2} Q$ 于点 $P$ ，设 $P$ 的轨迹是曲线 $C$ ，射线 $P F_{1} ， P F_{2}$ 分别与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $\vec{P F_{1}} = λ_{1} \vec{F_{1} A} ， \vec{P F_{2}} = λ_{2} \vec{F_{2} B}$ ，求证： $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值．

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x	0.5	2	3	3.5	4	5
y	$y_{1}$	15	$y_{2}$	$y_{3}$	$y_{4}$	$y_{5}$