广东省中山市2023-2024学年高一上学期期末统一考试数学试题

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. $x > y$ 是 $x^{2} > y^{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 将 $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{2}$ 化成分数指数幂的形式是（）

A、 $2^{\frac{7}{6}}$ B、 $2^{\frac{17}{6}}$ C、 $2^{\frac{1}{3}}$ D、 $2^{\frac{5}{6}}$

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3. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A \cap B = {2 ， 4} ， A \cup B = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则（）

A、 $2 \in A$ 且 $2 \notin B$ B、 $3 \in A$ 且 $3 \in A$ C、 $4 \in A$ 且 $4 \notin B$ D、 $5 \notin A$ 且 $5 \notin B$

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4. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ 在 $[m ， n]$ 上的值域是 $[1 ， 10]$ ，则 $n - m$ 的最大值是（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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5. 函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 4 x + 3)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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6. 已知数 $f (x) = \frac{a}{1 - e^{x}} - 2$ 是奇函数，则实数a的值是（）

A、1 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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7. 已知 $a > b > c > d$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a c > b d$ B、 $a e^{c} > b e^{d}$ C、 $e^{a} \cdot e^{c} > e^{b} \cdot e^{d}$ D、 $a l n (c - d) > b l n (c - d)$

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8. 如图，在半径为 $l c m$ 的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点 $A (1 ， 0)$ 出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过 $α$ 弧度，黑蚂蚁每秒爬过 $β$ 弧度（ $0 < α < β < π$ ），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A.若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（） $c m$

A、 $\frac{12}{5} π$ B、 $\frac{15}{7} π$ C、 $\frac{15}{4} π$ D、 $\frac{13 π}{6}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数中，既是奇函数，又是R上的增函数的是（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = x | x |$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x^{2}$

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10. 已知正数x ， y满足 $x + y = 2$ ，则（）

A、 $\sqrt{x y}$ 的最大值为1 B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为2 C、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最小值为2 D、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$

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11. 给定函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 的值域是 $[- 1 ， 1]$ C、 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 有三个零点

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12. 设偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ ，且满足 $f (2) = 0$ ，对于任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty) ， x_{1} \neq x_{2}$ ，都有二 $\frac{x_{2}^{2 n} f (x_{1}) - x_{1}^{2 n} f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} < 0 (n \in N)$ 成立则（）

A、不等式 $\frac{f (2 x + 1)}{x} > 0$ 的解集为 $(\frac{1}{2} ， + \infty) \cup (- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2} ， 0)$ B、不等式 $\frac{f (2 x + 1)}{x} > 0$ 的解集为 $(\frac{1}{2} ， + \infty) \cup (- \frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$ C、不等式 $\frac{f (x)}{x^{2024}} > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、不等式 $\frac{f (x)}{x^{2024}} > 0$ 的解集为 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 计算： $l g 5^{2} + \frac{2}{3} l g 8 =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ ，给出三个性质：
① $f (x)$ 定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ ﹔② $f (x)$ 是奇函数；③ $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数.
写出一个同时满足以上三个性质的函数解析式 $f (x) =$ .

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15. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率—速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额—基本减除费用—专项扣除—专项附加扣除—依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见下表.

级数	全年应纳税所得额所在区间	税率（%）	速算扣除数
1	$[0 ， 36000]$	3	0
2	$(36000 ， 144000]$	10	2520
3	$(144000 ， 300000]$	20	16920
4	$(300000 ， 420000]$	25	31920
5	$(420000 ， 660000]$	30	52920
6	$(660000 ， 960000]$	35	85920
7	$(960000 ， + \infty)$	45	181920

假定小王缴纳的基本养老保险､基本医疗保险､失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，如果小王全年的综合所得为249600元，那么他全年应缴纳综合所得个税为元.

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16. 已知函数 $f (x) = x + \frac{16}{x} - 10 ， x \in (0 ， + \infty)$ ，则 $f (x)$ 的零点之和为；若方程 $| f (x) | = m (m > 0)$ 有四个不相等的实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

17. 已知 $t a n α = \frac{1}{3}$ ，求下列各式的值.

(1)、 $\frac{s i n α - 2 c o s α}{2 s i n α - c o s α}$ ；

(2)、 $s i n α c o s α + 2$ .

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18. 若集合 $A = {x | x^{2} + 5 x - 6 = 0} ， B = {x | x^{2} + 2 (m + 1) x + m^{2} - 3 = 0}$

(1)、若 $m = 0$ ，写出 $A \cup B$ 的子集个数：

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数m的取值范围.

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19. 函数的性质通常指函数的定义域､值域､单调性､奇偶性､零点等.已知 $f (x) = \frac{1}{4 - x^{2}}$

(1)、研究并证明函数 $y = f (x)$ 的性质；

(2)、根据函数 $y = f (x)$ 的性质，画出函数 $y = f (x)$ 的大致图象.

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20. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数x ，满足 $f (- x) = f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“局部偶函数”，

(1)、已知函数 $f (x) = x^{3} + x + 1$ ，试判断 $f (x)$ 是否为“局部偶函数”，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = x [4^{x} + (2 m - 1) \cdot 2^{x} + 3]$ 为定义在区间 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，值域为 $(0 ， + \infty)$ ，且对任意m ， $n \in R$ ，都有 $f (m + n) = f (m) f (n)$ ， $φ (x) = \frac{f (x) - 1}{f (x) + 1}$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值，并证明 $φ (x)$ 为奇函数；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ，且 $f (3) = 4$ ，证明 $f (x)$ 为R上的增函数，并解不等式 $φ (x) > \frac{15}{17}$

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22. 已知函数 $g (x) = s i n^{2} x - c o s x + a ， x \in (\frac{π}{2} ， π)$ 有两个零点.

(1)、求实数a的取值范围.

(2)、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $g (x)$ 的两个零点，证明： $x_{1} + x_{2} < \frac{3 π}{2}$

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