广东省揭阳市2023-2024学年高三上学期期末教学质量测试数学试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $M = {x | 1 < x^{2} < 9}$ ， $N = {x | - 2 < x < 1}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | - 3 < x < - 1}$ B、 ${x | - 2 < x < - 1}$ C、 ${x | - 3 < x < 3}$ D、 ${x | - 3 < x < 3$ 且 $x \neq 1}$

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2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为 $(1 ， - 1)$ ，则 $\frac{z}{i} - 2 i =$ （）

A、 $- 1 - 3 i$ B、 $1 - i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $- 1 + i$

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3. 设 $a = l g 4$ ， $b = l o g_{3} 0.9$ ， $c = 2^{0.1}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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4. 从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据： $1.1 5^{4} \approx 1.75$ ， $1.1 5^{5} \approx 2.01$ ）（）

A、30万元 B、35.2万元 C、40.4万元 D、42.3万元

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5. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 3 ， 2 \sqrt{3})$ ，则 $t a n (α + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $- 2 \sqrt{3}$

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6. 数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．已知在 $△ A B C$ 中， $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 4)$ ， $C (2 ， 2)$ ，则 $△ A B C$ 的九点圆的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{110}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{130}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{110}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{130}}{2}$

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7. 已知两圆锥的底面积分别为 $\frac{π}{4}$ ， $4 π$ ，其侧面展开图中圆心角之和为 $2 π$ ，则两圆锥的母线长之和的最小值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、4 D、5

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8. 函数 $f (x) = l n \frac{x - 2}{x} + x - 1$ 的所有零点之和为（）

A、－2 B、－1 C、1 D、2

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第 $x (x = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ 天的数据如表所示．
x
1
2
3
4
5
y
21
10a
15a
90
109
根据表中数据可知x ， y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为 $\hat{y} = 20 x + 10$ ，则（）

A、样本相关系数在 $(0 ， 1]$ 内 B、当 $x = 2$ 时，残差为－2 C、点 $(3 ， 15 a)$ 一定在经验回归直线上 D、第6天到该医院就诊人数的预测值为130

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10. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R ，若 $f (2 - x)$ 是不恒为0的奇函数，则（）

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (2 - x) + f (x - 2) = 0$ C、 $f (x + 2)$ 为奇函数 D、 $f^{'} (x + 2)$ 为偶函数

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象过点 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $(\frac{π}{9} ， 0)$ ，其部分图象如图所示，则（）

A、 $f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{18}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[π ， \frac{11 π}{9}]$ 上单调递增 D、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{4 π}{9}$ 个单位后所得图象关于原点对称

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (\frac{1}{2} ， 0)$ ，经过点 $M (2 ， 1)$ 的直线l与C交于A ， B两点，且抛物线C在A ， B两点处的切线交于点P ， D为AB的中点，直线PD交C于点E ，则（）

A、点P在直线 $x - y + 1 = 0$ 上 B、E是PD的中点 C、 $| F A | \cdot | F B | = {| F P |}^{2}$ D、 $P D ⊥ y$ 轴

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 7 ， 6)$ ， $\vec{b} = (5 ， - 3)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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14. 在二项式 ${(x + \frac{a}{2 x})}^{6}$ 的展开式中，若常数项恰是所有奇数项的二项式系数之和的5倍，则实数a的值为．（用数字作答）

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15. 若双曲线的同一支上存在两点A ， B ，使得 $△ O A B$ （O为原点）为等边三角形，则称双曲线为“优美双曲线”，已知双曲线C是“优美双曲线”，则C的离心率的取值范围是．

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16. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为正方形， $A B = 4$ ， $A_{1} B = B C_{1}$ ， $B B_{1} ⊥ B D_{1}$ ，且二面角 $B_{1} - B D_{1} - C_{1}$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ ．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内运动， $D_{1} Q = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $P B_{1} + P Q$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知数列 ${a_{n} - n^{2}}$ 为等差数列， $a_{2} = 9 ， a_{3} = 16$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n} - 1}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形， $△ P A C$ 为等边三角形， $B C = 2 A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B ⊥ P C$ ，点E满足 $\vec{P C} = 3 \vec{P E}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面ABCD；

(2)、求直线DE与平面PAB所成角的正弦值．

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19. 为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成 $[6 ， 10)$ ， $[10 ， 14)$ ， $[14 ， 18)$ ， $[18 ， 22)$ ， $[22 ， 26]$ 这5组，并得到如下频率分布直方图：

(1)、估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)、现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在 $[10 ， 14)$ ， $[14 ， 18)$ ， $[22 ， 26]$ 内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．
（ⅰ）记这3人中进球个数在 $[14 ， 18)$ 的人数为X ，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $△ A B C$ 的面积为S ，已知 $\frac{2 S}{b^{2}} = \frac{s i n 2 A}{t a n B} + 2 c o s^{2} A$ ．

(1)、求 $t a n A$ ；

(2)、若 $s i n B = \frac{\sqrt{5}}{3} s i n C$ ， D为BC的中点， $A D = 2 \sqrt{5}$ ，求a的值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、椭圆C的左、右顶点分别为A ， B ，直线l经过点 $(1 ， 0)$ ，且与椭圆C交于M ， N两点（均异于A ， B两点），直线AM ， BN的倾斜角分别记为 $α ， β$ ，试问 $α - β$ 是否存在最大值？若存在，求当 $α - β$ 取最大值时，直线AM ， BN的方程；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = k e^{x} + (l n x)^{2} - x$ ，其中 $k > 0$ ．

(1)、当 $k = \frac{1}{e}$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq {(x + l n k)}^{2}$ ，求k的取值范围．

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x	1	2	3	4	5
y	21	10a	15a	90	109