浙江省嘉兴市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：月考试卷

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一、单选题（共8题，每题5分，共40分）

1. 设集合 $A = {x | \frac{2 x + 1}{x - 3} \leq 1}$ ， $B = {x | 3^{x} \geq \frac{1}{3}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1 ， 3)$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $[- 4 ， - 1]$ D、 $[- 4 ， 3)$

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2. $t a n 255 °$ 等于（）

A、 $- 2 - \sqrt{3}$ B、 $- 2 + \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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3. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， 2)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = 2^{| x |}$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = c o s \frac{x}{2}$ D、 $y = l n \frac{2 - x}{2 + x}$

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4. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (m - 2) x + 6 - m = 0$ 的两根都大于2，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{5}) \cup (2 \sqrt{5} ， + \infty)$ B、 $(- 6 ， - 2 \sqrt{5}]$ C、 $(- 6 ， - 2) \cup (2 \sqrt{5} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2)$

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5. 已知 $s i n (\frac{5 π}{12} - \frac{α}{2}) = - \frac{\sqrt{5}}{4}$ ，则 $c o s (\frac{13 π}{12} + \frac{α}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{11}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{11}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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6. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x - b)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）

A、 $a + b < 0$ B、 $a b < - 1$ C、 $0 < a^{b} < 1$ D、 $l o g_{a} | b | > 0$

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7. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上有且只有3个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{5}{4} ， \frac{7}{4}]$ B、 $[\frac{5}{4} ， \frac{7}{4})$ C、 $(\frac{7}{4} ， \frac{9}{4}]$ D、 $[\frac{7}{4} ， \frac{9}{4})$

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8. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数， $f (2) = 2$ ，若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} > x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) [\frac{f (x_{1})}{x_{2}} - \frac{f (x_{2})}{x_{1}}] < 0$ ，则不等式 $(x + 1) f (x + 1) > 4$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- 3 ， - 1) ∪ (- 1 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， + \infty)$

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二、多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分）

9. 已知 $s i n x = \frac{3}{5} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则（）

A、 $s i n (π - x) = \frac{3}{5}$ B、 $s i n (x - π) = \frac{4}{5}$ C、 $s i n (\frac{π}{2} - x) = \frac{4}{5}$ D、 $s i n (x - \frac{3 π}{2}) = \frac{4}{5}$

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10. 常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为 $x$ ，对应的五分记录数据记为 $y$ ，现有两个函数模型：① $y = 5 + 2 l g x$ ；② $y = 5 - l g \frac{1}{x}$ ．根据如图所示的标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（）
(参考数据：10-⁰.²≈0.6，10-⁰.¹⁵≈0.7，10-⁰.¹≈0.8，10-⁰.⁰⁵≈0.9)

A、选择函数模型① B、选择函数模型② C、小明去检查视力，医生告诉他视力为 $5$ ，则小明视力的小数记录数据为 $0.9$ D、小明去检查视力，医生告诉他视力为 $4.9$ ，则小明视力的小数记录数据为 $0.8$

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11. 若 $a > 0 ， \begin{matrix} \end{matrix} b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ B、 $\sqrt{a b} \leq 2$ C、 $\frac{1}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{1}{8}$ D、 $0 < \frac{1}{a b} ⩽ \frac{1}{4}$

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12. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ，函数 $g (x) = f (x) s i n ω x (ω > 0)$ ，若函数 $y = g (x + 1)$ 为奇函数，则 $ω$ 的值可以为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、 $\frac{3 π}{2}$

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三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13. $8^{\frac{2}{3}} + 2^{l o g_{2} 3} - l g \frac{5}{2} - 2 l g 2 =$ ．

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14. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{7}{13} (0 < α < π)$ ，则 $t a n α =$ ．

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15. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且对 $x ∈ R$ ，有 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (l o g_{2} 41) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{3} x | ， 0 < x < 3 \\ s i n (\frac{π}{6} x) ， 3 \leq x \leq 15 \end{array}$ ，若存在实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ .满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} =$ ， $(x_{3} - 3) (x_{4} - 3)$ 的取值范围是.

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四、解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分）

17. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} - 7 x + 3 < 0}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - b x + 4 < 0 ， b \in R}$

(1)、若 $A ∩ B = (1 ， 3)$ ，求 $b$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求 $b$ 的取值范围.

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18. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 2$ ．

(1)、若 $α$ 的终边位于第三象限角，求 $2 s i n α + c o s α$ 的值；

(2)、求 $\frac{1 + s i n 2 α + c o s 2 α}{1 + s i n 2 α - c o s 2 α}$ 的值．

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19. 已知 $c o s α = \frac{3}{5} ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，角 $β$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (\frac{7 \sqrt{2}}{10} ， \frac{\sqrt{2}}{10})$ ，且 $β \in (0 ， π)$ .求

(1)、 $s i n (\frac{π}{2} + α) + c o s (- β)$ ；

(2)、 $α - β$ .

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20. 已知函数 $f (x) = c o s x s i n (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} c o s^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x ∈ R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在闭区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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21. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $f (k \cdot 3^{x}) + f (3^{x} - 9^{x} + 2) > 0$ 对任意 $x ≥ 1$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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22. 对于函数 $f (x)$ ，若在其定义域内存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0} + 1) = f (x_{0}) + f (1)$ 成立，则称 $f (x)$ 有“漂移点” $x_{0}$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x}$ 在 $[0 ， 1]$ 上是否有“漂移点”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = \lg (\frac{a}{x^{2} + 1})$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有“漂移点”，求正实数 $a$ 的取值范围．

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