浙江省北斗星盟2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

查看试题解析
2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$

查看试题解析
3. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2，2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1，0 ， m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{3} = 30$ ， $S_{4} = 120$ ，则其公比 $q =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

查看试题解析
5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (3，0)$ ， $M$ 是 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 4$ 上一动点，则直线 $M A$ 的斜率的取值范围为（）

A、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ B、 $[- 1，1]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$

查看试题解析
6. 正四面体 $P - A B C$ 的棱长为 $4$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别是棱 $P A$ 、 $P C$ 的中点，则点 $A$ 到平面 $B M N$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{22}}{11}$ C、 $2$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

查看试题解析
7. 已知直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那么以线段 $A B$ 为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、相切 D、与直线 $l$ 的位置有关

查看试题解析
8. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $M$ 是面 $B C C_{1} B_{1}$ 内一动点，且 $D M ⊥ A_{1} C$ ， $N$ 是棱 $C C_{1}$ 上一动点，则 $△ D M N$ 周长的最小值为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{2} + 2$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}$

查看试题解析

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列说法正确的是（）

A、两异面直线所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{2}]$ B、若直线 $l$ 与平面 $α$ 相交，则该直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{2}]$ C、二面角的平面角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{2}]$ D、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间向量的一组基底，则存在非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ ，使得 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = \vec{0}$

查看试题解析
10. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 12 = 0$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、点 $C_{2}$ 在圆 $C_{1}$ 内 B、直线 $A B$ 的方程是 $3 x + 6 y + 2 = 0$ C、 $| A B | = \frac{20}{3}$ D、四边形 $A C_{1} B C_{2}$ 的面积是 $10 \sqrt{5}$

查看试题解析
11. 已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该动点轨迹是双曲线 $($ 两定点除外 $)$ ；若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆 $($ 两定点除外 $) .$ 如图，给定的矩形 $A B C D$ 中， $| A B | = a$ ， $| B C | = b (a > b > 0)$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是矩形四条边的中点， $M$ 、 $N$ 分别是直线 $E G$ 、 $A B$ 的动点， $\vec{O M} = λ \vec{O G}$ ， $\vec{B N} = μ \vec{B E}$ ，其中 $λ μ \neq 0$ ，且直线 $H M$ 与直线 $N F$ 交于点 $P .$ 下列说法正确的是（）

A、若 $λ μ = - 1$ ，则 $P$ 的轨迹是双曲线的一部分 B、若 $λ μ = - 1$ ，则 $P$ 的轨迹是椭圆的一部分 C、若 $λ = μ$ ，则 $P$ 的轨迹是双曲线的一部分 D、若 $λ + μ = 0$ ，则 $P$ 的轨迹是椭圆的一部分

查看试题解析
12. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中一类，螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠绕” $.$ 如图所示，正六边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 的边长为 $1$ ，分别取其各条边的四等分点，连接得到正六边形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5} B_{6}$ ，再取其各条边的四等分点，连接得到正六边形 $C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} C_{5} C_{6}$ ，依次类推 $\dots \dots$ 对于阴影部分，记第一个阴影 $△ A_{1} B_{1} B_{6}$ 的最大边长为 $a_{1}$ ，面积为 $S_{1}$ ；第二个阴影 $△ B_{1} C_{1} C_{6}$ 的最大边长为 $a_{2}$ ，面积为 $S_{2}$ ，第三个阴影三角形的最大边长为 $a_{3}$ ，面积为 $S_{3}$ ，依次类推 $\dots \dots$ 下列说法正确的是（）

A、 $S_{2} = \frac{39 \sqrt{3}}{1024}$ B、数列 ${a_{n}}$ 是以 $\frac{3}{4}$ 为公比的等比数列 C、数列 ${S_{n}}$ 的前 $2023$ 项和小于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、任意两个阴影三角形的最大边都不平行

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知圆心在 $x$ 轴上的圆经过点 $A (1，2)$ ， $B (- 1，0)$ ，则该圆的半径是．

查看试题解析
14. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各条棱长均为 $1$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长度为．

查看试题解析
15. 某牧场 $2015$ 年初牛的存栏数为 $1200$ 头，以后每年存栏数的增长率为 $9 %$ ，且在每年年底卖出 $90$ 头牛，那么在 $2024$ 年初牛的存栏数是多少 $($ 结果保留整数，参考数据： ${1.09}^{8} \approx 1.99$ ， ${1.09}^{9} \approx 2.17$ ， ${1.09}^{10} \approx 2.37)$

查看试题解析
16. 已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点， $O$ 是坐标原点，点 $M$ 是 $O F$ 的中点，椭圆上有且只有一个动点与点 $M$ 的距离最近，求该椭圆的离心率的取值范围．

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2}$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n + 1}$ ， $n \in N_{+}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析
18. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 11 = 0$ ，直线 $l$ ： $(2 m + 1) x - (m + 2) y - 4 m + 1 = 0$ ， $m \in R$ ．

(1)、判断直线 $l$ 是否过定点，若过定点，请找出该定点；若不过定点，请说明理由．

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{15}$ ，求该直线方程．

查看试题解析
19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是直角梯形， $A B = 1$ ， $A D = C D = 1$ ， $P B = \sqrt{5}$ ， $∠ B A D = ∠ A D C = 90 °$ ，侧面 $P A D$ 是等边三角形．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - A$ 的平面角的余弦值．

查看试题解析
20. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 x$ ， $A (2，0)$ ．

(1)、 $Q$ 是抛物线上一个动点，求 $| Q A |$ 的最小值；

(2)、过点 $A$ 作直线与该抛物线交于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的值．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = - {l o g}_{2} (- x)$ 的图象与水平直线 $y = n$ 交于点 $A_{n}$ ，其中 $n = 1$ ， $2$ ， $3 \dots$ ，记直线 $A_{n} A_{n + 1}$ 的斜率为 $a_{n}$ ，与 $y$ 轴交于点 $(0 ， b_{n}) .$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ， $n \in N_{+}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ．

查看试题解析
22. 如图，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，实轴长为 $2 \sqrt{3}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线的左右焦点，过右焦点 $F_{2}$ 的直线与双曲线右支交于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 在第一象限．连接 $A F_{1}$ 与双曲线左支交于点 $C$ ，连接 $B C$ 分别与 $x$ ， $y$ 轴交于 $D$ ， $E$ 两点．

(1)、求该双曲线的标准方程；

(2)、求 $△ A D E$ 面积的最小值．

查看试题解析