浙江省海宁市高级名校2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $P = {x \in N | x (x - 3) \geq 0}$ ， $Q = {2 ， 4}$ ，则 $(∁_{N} P) \cup Q =$ （）

A、 ${1 ， 4}$ B、 ${0 ， 2 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 4}$

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2. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x}} - 2^{x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在 $R$ 上是增函数 B、是偶函数，且在 $[0 ， + ∞)$ 上是增函数 C、是奇函数，且在 $R$ 上是减函数 D、是偶函数，且在 $[0 ， + ∞)$ 上是减函数

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3. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 2]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (2 x)}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $[0 ， 1) \cup (1 ， 4]$ D、 $(0 ， 1)$

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4. 函数 $f (x) = \sin x \cdot \ln | x |$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量 $C$ （单位： $A h$ ），放电时间 $t$ （单位： $h$ ）与放电电流 $I$ （单位： $A$ ）之间关系的经验公式： $C = I^{n} \cdot t$ ，其中 $n$ 为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数 $n$ ，在电池容量不变的条件下，当放电电流 $I = 20 A$ 时，放电时间 $t = 20 h$ ；当放电电流 $I = 50 A$ 时，放电时间 $t = 5 h$ .若计算时取 $l g 2 \approx 0.3$ ，则该蓄电池的Peukert常数 $n$ 大约为（）

A、1.25 B、1.5 C、1.67 D、2

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6. 已知 $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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7. 已知 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ， $a = {(c o s α)}^{s i n α}$ ， $b = {(s i n α)}^{c o s α}$ ， $c = {(c o s α)}^{c o s α}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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8. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，若函数 $g (x) = f (x) - l o g_{a} (x + 2)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $(- 1 ， 7)$ 上恰有4个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{7}) \cup (7 ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{7}) \cup (9 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{9}) \cup (7 ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{9}) \cup (9 ， + \infty)$

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二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）

9. 已知命题p：关于x的不等式 $x^{2} - 2 a x - a > 0$ 的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（）

A、 $- 1 < a < - \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{2}{3} < a < 0$ C、 $- 1 \leq a \leq 0$ D、 $a \geq - 1$

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 1$ B、 $a b$ 的最小值为16 C、 $a + b$ 的最小值为8 D、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{9}{b}$ 的最小值为2

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11. 给出下列结论，其中正确的结论是（）

A、函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{- x^{2} + 1}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、已知函数 $y = l o g_{a} (2 - a x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $(0 ， 1)$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $(1 ， 2]$ C、若 $f (x)$ 的图像是一条连续曲线，且 $f (0) \cdot f (1) > 0$ ，则 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 内没有零点 D、关于 $x$ 的不等式 $a x - b > 0$ 的解集是 $(- \infty ， 1)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + b}{x - 2} > 0$ 的解集是 ${x | - 1 < x < 2}$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{2 π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调递减，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{3}$ B、若 $f (\frac{2 π}{3}) + f (\frac{5 π}{6}) = 0$ ，则 $f (\frac{3 π}{4}) = 0$ C、若 $f (x + \frac{π}{3}) \geq f (x)$ 恒成立，则满足条件的 $ω$ 有且仅有1个 D、若 $φ = - \frac{π}{6}$ ，则 $ω$ 的取值范围是 $[1 ， 2] ∪ [4 ， \frac{22}{5}]$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共20分）

13. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(8 ， \frac{1}{4})$ ，则 $f (x)$ 的增区间为．

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14. 已知函数 $f (x) = 2 \tan (a π x + \frac{π}{6}) (a > 0)$ 的最小正周期是3.则 $a =$ $f (x)$ 的对称中心为.

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15. 已知 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ， $c o s (β - \frac{π}{6}) = \frac{12}{13}$ ， $α$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{6})$ ，则 $c o s (α + β) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} ， x \in [0 ， \frac{1}{2}) \\ 3 x^{2} ， x \in [\frac{1}{2} ， 1] \end{array}$ ，若存在 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} \cdot f (x_{2})$ 的取值范围为.

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四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分）

17. 已知集合 $A = {x | x < a$ 或 $x > a + 2}$ ， $B = {x | 3^{x - 1} \geq 9}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”成立的必要不充分条件，求a的取值范围.

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18. 已知 $f (α) = \frac{s i n (- α - \frac{5 π}{2}) c o s (\frac{3 π}{2} + α) t a n^{2} (π - α)}{c o s (\frac{π}{2} - α) s i n (π + α)}$

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = 2$ ，求 $s i n^{2} α - 3 s i n α c o s α$ 的值．

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19. 杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 $v_{1} = 30 k m / h$ 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 $Δ Q_{1} = t_{1} \times 2 v_{1}$ （ $t_{1}$ 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 $v_{2} = 30 - 10 t_{2}$ 的减速运动（ $t_{2}$ 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 $Δ Q_{2} = \frac{t_{2} \times 2 v_{2}}{t_{2} + 1} ，$ 已知该运动员初始体力为 $Q_{0} = 10000 k J ，$ 不考虑其他因素，所用时间为 $t$ （单位：h），请回答下列问题：

(1)、请写出该运动员剩余体力 $Q$ 关于时间 $t$ 的函数 $Q (t)$ ；

(2)、该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} (x - \frac{π}{6}) + c o s 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、当 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值以及取到最大、最小值时 $x$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = a^{x} + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像恒过定点 $A$ ，且点 $A$ 又在函数 $g (x) = l o g_{2} (x + a)^{2}$ 的图象上．

(1)、若 $f (x) - f (- x) = \frac{3}{2}$ ，求 $x$ 的值 $；$

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (g (x)) > k x + 1$ 在 $x \in [3 ， 4]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 已知 $f (x) = \frac{a^{x} + b}{a^{x} - b}$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是 $R$ 上的奇函数，且 $f (2) = \frac{3}{5}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (m x^{2} - 2 x) + f (m x + 2) \geq 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、把区间 $(0 ， 2)$ 等分成 $2 n$ 份，记等分点的横坐标依次为 $x_{i}$ ， $i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 2 n - 1$ ，设 $g (x) = \frac{3}{2} - \frac{2}{2^{x - 1} + 1}$ ，记 $F (n) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) + \cdot \cdot \cdot + g (x_{2 n - 1}) (n \in N^{*})$ ，是否存在正整数 $n$ ，使不等式 $\frac{f (2 x)}{f (x)} \geq F (n)$ 有解？若存在，求出所有 $n$ 的值，若不存在，说明理由.

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