浙江省杭州市萧山区第六高级名校2023-2024学年高一上学期12月数学月考试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题（每题3分，共24分）

1. 学校开运动会，设 $A = {x | x ∣$ 是参加100米跑的同学}， $B = {x | x ∣$ 是参加200米跑的同学}， $C = {x | x ∣$ 是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（）

A、 $(A ∩ B) ∪ C = \emptyset$ B、 $(A ∪ B) ∩ C = \emptyset$ C、 $(A ∪ B) ∪ C = \emptyset$ D、 $(A \cap B) \cap C = \emptyset$

查看试题解析
2. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c为常数且 $a \neq 0$ ）的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
3. 函数 $f (x) = l n x + x - 8$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(4 ， 5)$ B、 $(5 ， 6)$ C、 $(6 ， 7)$ D、 $(7 ， 8)$

查看试题解析
4. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q ，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（）

A、 $y = Q \cdot \frac{x}{N}$ B、 $y = Q {(\frac{1}{2^{N}})}^{x}$ C、 $y = Q - Q {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{N}}$ D、 $y = Q {(\frac{1}{2})}^{\frac{x}{N}}$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (2 x + 1) = 5 x - 6$ ，且 $f (t) = 9$ ，则 $t =$ （）

A、7 B、5 C、3 D、4

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，对于 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{2} > x_{1}$ 时，都有 $[f (x_{2}) - f (x_{1})] (x_{2} - x_{1}) > 0$ 恒成立，设 $a = f (- 1)$ ， $b = f (- 2)$ ， $c = f (4)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}} - 8$ ，且 $f (a) = 10$ ，那么 $f (- a)$ 等于（）

A、－18 B、－26 C、－10 D、10

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 1 ， x \leq 1 \\ 5 - \frac{8}{x} ， x > 1 \end{array}$ ，当 $f (n) = f (m)$ 且 $n ≠ m$ 时，则 $| n - m |$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{23}{10}$ C、2 D、 $\frac{9}{5}$

查看试题解析

二、多选题（每题4分，共16分，错选多选不选得0分，少选得2分）

9. 下列函数中，值域为 $(0 ， + ∞)$ 的有（）

A、 $y = 2^{- x}$ B、 $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}}}$ C、 $y = l n (e^{x} + 1)$ D、 $y = 2^{\sqrt{x}}$

查看试题解析
10. 若关于x的一元二次方程 $(x - 2) (x - 3) = m$ 有实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $m = 0$ 时， $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 3$ B、 $m > - \frac{1}{4}$ C、当 $m > 0$ 时， $2 < x_{1} < x_{2} < 3$ D、二次函数 $y = (x - x_{1}) (x - x_{2}) + m$ 的零点为2和3

查看试题解析
11. 下列说法不正确的是（）

A、命题“ $\forall x < 1$ ，都有 $x^{2} < 1$ ”的否定是“ $\exists x \geq 1$ ，使得 $x^{2} \geq 1$ ” B、集合 $A = {- 2 ， 1} ， B = {x ∣ a x = 2}$ ，若 $A ∩ B = B$ ，则实数a的取值集合为 ${- 1 ， 2}$ C、方程 $3 x^{2} + a (a - 6) x - 3 = 0$ 有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是 $0 < a < 6$ D、若存在 $x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 使等式 $x^{2} - 2 x - m < 0$ 上能成立，则实数m的取值范围 $(0 ， + \infty)$ ．

查看试题解析
12. 设 $a = l o g_{6} 8 + l o g_{8} 6 ， 6^{a} + 8^{a} = 1 0^{b}$ ，则（）

A、 $a > 2$ B、 $a > b$ C、 $b > 2$ D、 $2 > b$

查看试题解析

三、填空题（每题4分，共16分）

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) x^{m}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ ．

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 3 ， 2 m + 1]$ 上的偶函数，则 $m =$ .

查看试题解析
15. 不等式 $2^{x^{2} - 4 x - 3} < {(\frac{1}{2})}^{3}^{(x - 1)}$ 的解集为．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{x} + 1 ， x < c \\ x^{2} - 2 x + 2 ， c \leq x \leq 3 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， 5]$ ，则实数 $c$ 的取值范围是.

查看试题解析

四、解答题（第17题8分，第18题，19题每题10分，第20、21、22题每题12分，共64分）

17. 计算：

(1)、 $8^{\frac{1}{3}} - {(e - 1)}^{0} + {[{(- 2)}^{2}]}^{\frac{3}{2}} + 8^{\frac{1}{4}} \times \sqrt[4]{2}$ ；

(2)、 $l g 100 + e^{l n 3} + l o g_{\sqrt{5}} 25 - l o g_{3} 32 \cdot l o g_{2} 3$ .

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ．

(1)、若 $b = a$ ， $c = - 2$ ，不等式 $f (x) < 0$ 对一切实数x都成立，求a的取值范围；

(2)、若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 2 ， 1)$ ，求关于x的不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集．

查看试题解析
19. 为促进旅游事业的发展，我市某著名景点推出“一费全包，团体打折”的团体票方案：
Ⅰ.只要一次购票即可游玩景点内所有项目且能当天无限次乘坐园内观光车；
Ⅱ.当团体不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准.设景点接待有x名游客的某团队时，收取总费用为y元.

(1)、当 $40 < m \leq 100$ 时，求y关于x的函数表达式 $y = f (x)$ ；

(2)、若m设置不合理，有可能出现团体人数增加而收取的总费用反而减少这一现象.要令收取的总费用总随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = l g x - \frac{3 x - 1}{x - 1}$ .

(1)、求 $f (2) + f (\frac{1}{2}) + f (3) + f (\frac{1}{3}) + ⋯ + f (21) + f (\frac{1}{21})$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + 2$ ，证明： $g (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有唯一零点.

查看试题解析
21. 设函数 $f (x) = a^{x} - k a^{- x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $k \in R$ ）， $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数．

(1)、求 $k$ 的值，判断当 $a > 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性并用定义法证明；

(2)、若 $f (1) = \frac{3}{2}$ ，函数 $g (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} - f (x)$ ， $x \in [- 1 ， 1]$ 求 $g (x)$ 的值域．

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = l o g_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ．

(1)、解关于 $a$ 的不等式 $f (7 - 2 a) \leq f (5 a)$ ；

(2)、若 $f (m^{2} + \frac{1}{m^{2} + 1}) \geq f (1)$ 恒成立，则是否存在实数 $k$ ，令 $x \in [0 ， 1]$ 时，恒有 $f (4^{x} + 3) - f (k \cdot 2^{x + 1}) < 0$ ？若存在，求实数 $k$ 的范围；若不存在，请说明理由．

查看试题解析