贵州省部分重点中学2023-2024学年高三上学期数学1月模拟试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | y = x}$ ， $B = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} = 1}$ ，则 $A ∩ B$ 中元素的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无数个

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $| x - 2 | < 1$ ”是“ $1 < x < 2$ ”的（）

A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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3. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中，含 $\frac{1}{x^{4}}$ 的系数为（）

A、8 B、28 C、56 D、70

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4. 如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 23 °$ ， $∠ C D B = 30 °$ ， $C D = 11.2 m$ ，在 $C$ 点测得甲秀楼顶端 $A$ 的仰角为 $72.4 °$ ，则甲秀楼的高度约为（）（参考数据： $t a n 72.4 ° \approx 3.15$ ， $s i n 53 ° \approx 0.8$ ）

A、 $20 m$ B、 $21 m$ C、 $22 m$ D、 $23 m$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ，且 $a_{3} + a_{10} = 4$ ，那么数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值是（）

A、 $S_{1}$ B、 $S_{5}$ C、 $S_{6}$ D、 $S_{11}$

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的对称中心为（）

A、 $(\frac{k π}{2} + \frac{π}{6} ， - 1) (k \in Z)$ B、 $(\frac{k π}{2} + \frac{π}{6} ， 0) (k \in Z)$ C、 $(\frac{k π}{2} + \frac{π}{3} ， 0) (k \in Z)$ D、 $(k π + \frac{π}{6} ， - 1) (k \in Z)$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，右焦点为F ， $B F$ 的中点为M ， $\vec{A M} \cdot \vec{B F} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (1 - 2 x)$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在 $[- 2024 ， - 2023]$ 上单调递增，设 $a = f (- l o g_{3} 2)$ ， $b = f (l n (2 e^{4}))$ ， $c = f (2024)$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）

9. 已知 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 5 \sqrt{10}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\sqrt{5} \vec{b}$

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10. 定义：设 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2}$ $- x + a$ 图象的对称中心为 $(0 ， 1)$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $a = 1$ ， $b = 0$ B、函数 $f (x)$ 的极大值与极小值之和为2 C、函数 $f (x)$ 有三个零点 D、 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递减

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11. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = A D = 1$ .设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，点 $M$ 为 $l$ 上的点， $N$ 为 $A D$ 上的点.下列说法正确的是（）

A、 $l ⊥$ 平面 $P D C$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的半径为 $\sqrt{3}$ C、点 $M$ 到 $B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ . D、三棱锥 $N - B C M$ 的体积为 $\frac{1}{6}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，则下列说法正确的是（）

A、若 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 B、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 4$ ， $A = θ$ ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 $θ \in (0 ， \frac{π}{3})$ C、若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形 D、若 $t a n A + t a n B + t a n C > 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知函数 $f (x) = 2^{- x^{2} + 2 x + 3}$ ，则 $f (x)$ 的最大值是.

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14. 拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有个节点.（填写具体数字）

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15. 过点 $P (1 ， - 3)$ 作曲线 $y = 2 x^{3} - 3 x$ 的切线，请写出切线的方程.

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16. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M$ 在 $E$ 的左支上，过点 $M$ 作 $E$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $N$ ，则当 $| M F_{2} | + | M N |$ 取最小值16时， $△ F_{1} N F_{2}$ 面积的最大值为.

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四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.

(1)、随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；

(2)、已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $b (1 + c o s C) = \sqrt{3} c s i n B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{10}$ ， $b - a = 2$ ，求 $A C$ 边上的高.

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19. 如图，已知在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，平面 $S A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $S A =$ $A B = \frac{2}{3} A D$ ， $M$ 是 $S B$ 的中点.

(1)、证明： $A M ⊥ M C$ ；

(2)、若 $S A ⊥ B D$ ， $S A = 2$ ，求平面 $A M C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{n} = S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 ${d_{n}}$ 中是否存在3项 $d_{p}$ ， $d_{m}$ ， $d_{q}$ （其中p ， m ， q成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的渐近线的距离为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 任意作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交曲线 $C$ 于点A ， B和M ， N.设线段 $A B$ ， $M N$ 的中点分别为P ， Q ，求证：直线 $P Q$ 恒过一个定点.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x + 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) = 4 e x + 4 e l n x$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + l n (x_{1} x_{2})$ $> 2$ .

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