广东省肇庆市2024届高三上学期数学1月第二次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ ，且 ${\bar{z}}_{1} = 3 - i ， z_{2} = 2 - i ，$ ，则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 ⩾ 0 ， x \in Z} ， B = {y ∣ | y | ⩽ 2 ， y \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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3. 已知 ${\vec{e}}_{1} ， {\vec{e}}_{2}$ 是单位向量，且它们的夹角是 $6 0^{∘}$ .若 $\vec{a} = {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2} ， \vec{b} = λ {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $λ =$ （）

A、2 B、-2 C、2或-3 D、3或-2

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4. 为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占 $51 %$ ､女性约占 $49 %$ ，统计计算样本中男性的平均身高为 $175 c m$ ，女性的平均身高为 $165 c m$ ，则样本中全体人员的平均身高约为（）

A、 $166 c m$ B、 $168 c m$ C、 $170 c m$ D、 $172 c m$

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5. 已知 $a = 1.0 1^{3.2} ， b = 0.5 2^{3.2} ， c = l o g_{0.52} 3.2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2 ， \frac{S_{10}}{10} = 11$ ，则 $\frac{S_{100}}{100} =$ （）

A、100 B、101 C、110 D、120

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7. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，则过点 $(2 ， \sqrt{5})$ 与 $E$ 有且只有一个公共点的直线共有（）

A、4条 B、3条 C、2条 D、1条

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8. 在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $A + s i n A > B + s i n B$ B、 $s i n A + c o s B > s i n B + c o s A$ C、 $s i n A + c o s A > s i n B + c o s B$ D、 $A + s i n B > B + s i n A$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则（）

A、当 $a < 0$ 时，曲线 $C$ 表示双曲线 B、当 $0 < a < 3$ 时，曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆 C、当 $a = 3$ 时，曲线 $C$ 表示圆 D、当 $a > 3$ 时，曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆

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10. 若 $△ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 的正弦值为 $s i n A ， s i n B ， s i n C$ ，则（）

A、 $s i n A ， s i n B ， s i n C$ 一定能构成三角形的三条边 B、 $\frac{1}{s i n A} ， \frac{1}{s i n B} ， \frac{1}{s i n C}$ 一定能构成三角形的三条边 C、 $s i n^{2} A ， s i n^{2} B ， s i n^{2} C$ 一定能构成三角形的三条边 D、 $\sqrt{s i n A} ， \sqrt{s i n B} ， \sqrt{s i n C}$ 一定能构成三角形的三条边

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11. 已知 $ω \neq 0$ ，函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{12}) - s i n (ω x - \frac{5 π}{12}) ， x \in R$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{7 π}{12} ， \frac{13 π}{12})$ 上单调递增，则 $ω$ 的可能取值为（）

A、-1 B、 $\frac{1}{13}$ C、2 D、4

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 同时满足① $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 2 ， x \in R$ ；②当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $| f (x) | ⩽ 1$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $f (n) > 2023 n$ D、对任意 $x \in R ， | f (x) | < x^{2} + | x | + 3$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在 ${(x^{2} - \frac{2}{x^{3}})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为.

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14. 抛物线 $y = p x^{2}$ 的焦点坐标为 $(0 ， 2)$ ，则 $p$ 的值为.

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15. 小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是.

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16. 在四面体 $P - A B C$ 中， $B P ⊥ P C ， ∠ B A C = 6 0^{∘}$ ，若 $B C = 2$ ，则四面体 $P - A B C$ 体积的最大值是，它的外接球表面积的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2^{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{2 n} + 1$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、是否存在 $λ$ ，使 ${b_{n} - λ}$ 为等比数列？若存在，求出所有满足条件的 $λ$ ；若不存在，请说明理由；

(2)、求 $S_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $A B = 2 ， A D = 1 ， A C = 4$ ，求：

(1)、 $B D$ 的长；

(2)、 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A B ⊥ A C ， A B = A C ， A A_{1} = A_{1} C$ .

(1)、若 $M ， N$ 分别为 $A_{1} C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，证明： $M N$ $∥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、当直线 $A_{1} B$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ 时，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = l n x - m + \frac{m}{x} (m \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、对任意 $x \in (0 ， 1)$ ，不等式 $f (x) > - \frac{1}{e}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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21. 已知 $F_{1} ､ F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在 $C$ 上.

(1)、证明： $| P F_{2} | = a - e x_{0}$ （其中 $e$ 为 $C$ 的离心率）；

(2)、当 $a = 5 ， b = \sqrt{15}$ 时，是否存在过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，其中 $x_{1} > 0 ， x_{2} < 0$ ，使得 $\frac{1}{| A F_{1} |} + \frac{1}{| B F_{1} |} = \frac{3}{| A B |}$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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22. 某市12月的天气情况有晴天､下雨､阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为 $\frac{1}{4}$ ，阴天的概率为 $\frac{1}{4}$ ；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为 $\frac{1}{4}$ ，阴天的概率为 $\frac{3}{8}$ ；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为 $\frac{1}{4}$ ，下雨的概率为 $\frac{1}{3}$ .已知该市12月第1天的天气情况为下雨.

(1)、求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；

(2)、记 $a_{n} ， b_{n} ， c_{n}$ 分别为该市12月第 $n (n \in N)$ 天的天气情况为晴天､下雨和阴天的概率，证明： ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等比数列，并求出 $a_{n}$ .

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