广东市佛山市重点中学2023-2024学年高三上学期数学1月第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2024-02-01 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | e^{x} < 1 ， x \in R}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 < 0 ， x \in R}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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2. 若 $\frac{z - 2}{1 + i} = i ， i$ 为虚数单位，则 $\frac{\bar{z} + 1}{z + i} =$ （）

A、 $- i$ B、i C、1 D、 $- 1$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 0)$ ， $\vec{b} = (0 ， 3 ， 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{9}$ B、 $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{9}{5}$

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4. 若函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度后，其图象与函数 $g (x) = c o s 2 x$ 的图象重合，则 $m$ 的值可以为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $l o g_{2} \frac{T_{12}}{T_{4}} =$ （）

A、45 B、50 C、55 D、60

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6. 某初创公司自创立以来，部分年份的年利润列表如下：
年份
2
3
4
5
年利润（千万元）
1.50
2.25
3.38
5.06
现有以下模型描述该年利润 $y$ （单位：千万元）随年份 $x$ 的变化关系：① $y = k l g x + h$ ， ② $y = m \cdot n^{x}$ .试从这两个函数模型中选择合适的函数模型，并利用该模型预计公司的年利润首次超过10亿元的年份为（）
（参考数据 $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、10 B、11 C、12 D、13

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7. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A ， B ，弦AB的中点为M且 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ .若过原点O与点M的直线的斜率不小于 $\sqrt{3}$ ，则双曲线E的离心率的取值范围为（）

A、 $(1 ， \sqrt{2}]$ B、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \sqrt{5}]$ D、 $[\sqrt{5} ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x - 2$ 的零点为 $m ， g (x) = l n x + x - 2$ 的零点为 $n$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $m n > 1$ B、 $m^{2} + n^{2} < 3$ C、 $4 m^{2} > n^{2}$ D、 $e^{m} + l n n < 2$

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二、多选题（共20分）

9. 根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则（）

A、我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为 $18.4 %$ B、我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为 $6.55 %$ C、我国今年3月份至10月份社会消费品零售总㲅同比增速的 $40 %$ 分位数为 $5.05 %$ D、我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为 $8.125 %$

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10. 若 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{12})$ 上仅有一个最值，且为最大值，则 $ω$ 的值可能为（）

A、 $l o g_{2} \frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{39}{5}$

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11. 正方体的展开图如图所示.已知 $H$ 为线段 $B F$ 的中点，动点 $P$ 在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（）

A、 $B M$ 与 $A N$ 是异面直线 B、 $A F$ 与 $B M$ 所成角为 $6 0^{∘}$ C、平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B M N$ D、若 $A M ⊥ H P$ ，则点 $P$ 的运动轨迹是正六边形

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12. 已知 $x > 0$ 时， $(e^{x} - a x - b - c) (a x + b - l n x) \geq 0$ ，则（）

A、当 $c < 2$ 时， $b + c > 1$ ， $a + b \geq 0$ B、当 $c < 2$ 时， $a + l n a > 2 c - 3$ C、当 $c > 3$ 时， $a + l n a < c$ D、当 $c > 3$ 时， $a + l n a < 2 c - 3$

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三、填空题（共20分）

13. $(1 + 2 x) {(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是．

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14. 设两个等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{7 n}{9 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{1}} =$ .

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15. 已知O为坐标原点，F为曲线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点A（不与O重合）在C上，且 $\vec{A B} = 2 \vec{B F}$ ，则直线 $O B$ 斜率的取值范围是．

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16. 若曲线 $C_{1}$ 上的点P与曲线 $C_{2}$ 上的点Q关于坐标原点对称，则称P ， Q是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的一组奇点.若曲线 $y = m^{x}$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ）与曲线 $y = 2 x e^{x + 1}$ 有且仅有一组奇点，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题（共70分）

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{s i n A}{c o s B - c o s C} = \frac{c o s B + c o s C}{s i n A - s i n B}$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积最大值．

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18. 公比为 $q$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + a$ ．

(1)、求 $a$ 与 $q$ 的值；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{T_{2}} + \frac{1}{T_{3}} + ⋯ + \frac{1}{T_{n + 1}} < 2$ ．

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19. 如图，三棱锥 $D - A B C$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $S_{△ A C D} = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = B C = 2$ ，平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C$ ，

(1)、求证： $B C ⊥ C D$ ；

(2)、求二面角 $B - C E - D$ 的正弦值．

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20. 3月14日为国际数学日，也称为 $π$ 节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是 $\frac{3}{4} ， \frac{3}{5}$ ，通过第二轮比赛的概率分别是 $\frac{4}{5} ， \frac{2}{3}$ ，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.

(1)、若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(2)、已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是 $\frac{1}{3} ， \frac{2}{3}$ ，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{3 + m} = 1$ ，其中 $m$ 是与 $x ， y$ 无关的实数.

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m = 1$ 时，如图所示，过点 $P (1 ， 2)$ 的直线与椭圆 $E$ 分别相交于点 $A ， B$ ，过点 $A$ 且斜率为 $- 2$ 的直线与椭圆 $E$ 相交于点 $C$ ，试探究直线 $B C$ 是否恒过定点？若是，求出这个定点坐标；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a - \frac{a l n x + 1}{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、证明： $x e^{x} > 2 + l n x - \frac{2 (1 - s i n x)}{x}$ ；

(3)、对 $x \in (- \frac{π}{2} ， + ∞) ， x e^{x} \geq a x^{2} + 2 x - x c o s x$ 恒成立，求 $a$ 取值范围.

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年份	2	3	4	5
年利润（千万元）	1.50	2.25	3.38	5.06