湖南省郴州市桂东县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-01-31 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 在 $\frac{6 m}{m}$ ， $\frac{4}{y}$ ， $\frac{y}{4}$ ， $\frac{6}{x + 1}$ ， $\frac{y}{π}$ ， $\frac{x + y}{2}$ 中分式的个数有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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2. 下列运算正确的是（　　）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ C、 ${(a^{3})}^{4} = a^{12}$ D、 $a^{0} = 1$

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3. 下列说法不一定成立的是（）

A、若a>b，则a+c>b+c B、若a+c>b+c，则a>b C、若a>b，则ac²>bc² D、若ac²>bc² ，则a>b

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4. 关于 $x$ 的方程 $x - 5 = - 3 a$ 解为负数，则实数a的取值范围是（）．

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $a > \frac{5}{3}$ D、 $a < \frac{5}{3}$

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5. 下列命题的逆命题是真命题的是（）

A、对顶角相等 B、全等三角形的面积相等 C、如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D、两直线平行，内错角相等

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6. 若方程 $\frac{x - 3}{x - 2} = \frac{m}{2 - x}$ 无解，则 $m$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 若 $\sqrt{x (x - 6)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 6}$ ，则（　　）

A、 $x \geq 6$ B、 $x \geq 0$ C、 $0 \leq x \leq 6$ D、x为一切实数

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8. 甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 $4$ 个，甲做 $100$ 个所用的时间与乙做 $80$ 个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件．设甲每小时做 $x$ 个零件，则可列方程为（）

A、 $\frac{100}{x - 4} = \frac{80}{x}$ B、 $\frac{100}{x} = \frac{80}{x - 4}$ C、 $\frac{100}{x} = \frac{80}{x + 4}$ D、 $\frac{100}{x + 4} = \frac{80}{x}$

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9. 某正数的平方根分别是 $2 a + 1$ 和 $a + 5$ ，则 $a =$ ．

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10. 计算： $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} =$ ．

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11. 方程 $\frac{5}{x + 1} - \frac{4}{x} = 0$ 的解是．

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12. 若不等式（a﹣3）x＞1的解集为 $x < \frac{1}{a - 3}$ ，则a的取值范围是．

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13. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，B、D、C在一条直线上．若∠B＝70°，则∠CAE的大小为．

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14. 一个等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长是.

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15. 定义 $[x]$ 为不大于x的最大整数，如 $[2] = 2$ ， $[\sqrt{3}] = 1$ ， $[4.1] = 4$ ，则满足 $[\sqrt{n}] = 5$ ，则 $n$ 的最大整数为.

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16. 已知 $a^{2} - 3 a + 1 = 0$ ，求 $a^{4} + \frac{1}{a^{4}}$ 的值为.

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三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算： ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} + | - 3 | - \sqrt[3]{27} + {(- 1)}^{2021}$ .

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 4 x - 3 (x - 2) \geq 4 ① \\ \frac{x - 1}{5} > \frac{x + 1}{2} - 1 ② \end{array}$ 并把解集在数轴上表示出来．

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19. 先化简，再求值： $(\frac{a^{2}}{a - b} - \frac{2 a b - b^{2}}{a - b}) \div \frac{a - b}{a b}$ ，其中 $a = \sqrt{3} + 1 ， b = \sqrt{3} - 1$ ．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ．

(1)、尺规作图：作边 $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点D ，连接 $A D$ （要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；

(2)、在（1）作出的图形中，求 $△ A B D$ 的周长．

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21. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．

(1)、求证：AB＝CD；

(2)、若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．

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22. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 $\frac{5}{4}$ 倍，购进数量比第一次少了30支．

(1)、求第一次每支铅笔的进价是多少元？

(2)、若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？

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23. 如图， $△ A B D$ 和 $△ B C D$ 都是等边三角形，点 $E$ 在 $A D$ 上，点 $F$ 在 $C D$ 上， $D E = C F$ ，连接 $B E$ ， $B F$ ， $E F$ ．

(1)、求证： $△ B D E ≌ △ B C F$ ．

(2)、判断 $△ B E F$ 的形状，并说明理由．

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24. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} = a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号，
例如：当 $a > 0$ 时，求 $a + \frac{4}{a}$ 的最小值．
解∵ $a > 0$ ∴ $a + \frac{4}{a} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{16}{a}}$ 又∵ $2 \sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 4$ ， ∴ $a + \frac{4}{a} \geq 4$ ，即 $a = 2$ 时取等号．
∴ $a + \frac{4}{a}$ 的最小值为4．
请利用上述结论解决以下问题：

(1)、当 $x > 0$ 时，当且仅当 $x =$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值．

(2)、当 $m > 0$ 时，求 $\frac{m^{2} + 5 m + 12}{m}$ 的最小值．

(3)、请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花围，需要用的篱笆最少是多少米？

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25. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、如图1，点 $E$ 为 $△ A B C$ 外一点， $A E ⊥ C E$ ，过B作 $B F ⊥ A E$ ，垂足分别为E、F ．
求证： $E F = B F - C E$ ．

(2)、如图2，点D是BC上一点， $B A = B D$ ， $C E ⊥ A D$ 于 $E$ ，求证： $A D = 2 C E$ ．

(3)、如图3，点D为BC上一点， $A E ⊥ C E$ ，过点A作 $A M ⊥ A E$ ，且 $A M = A E$ ，连接BM ．若 $C E = 2$ ，求AG的长度．

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