福建省福州市四校教学联盟2023-2024学年九年级上学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2024-01-30 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的。

1. 2023年10月12日，习近平总书记在进一步推动长江经济带高质量发展座谈会上强调：“要把产业绿色转型升级作为重中之重，加快培育壮大绿色低碳产业．”下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = k x^{2} - 7 x - 7$ 的图象和 $x$ 轴有两个交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \geq - \frac{7}{4}$ B、 $k > - \frac{7}{4}$ C、 $k \geq - \frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$ D、 $k > - \frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$

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3. 下列事件，是必然事件的是（）

A、经过有信号灯的路口，遇到红灯 B、打开电视频道，正在播体育新闻 C、掷一次骰子，向上一面点数大于0 D、射击运动员射击一次，命中十环

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4. 将点 $（ 3 ， - 1 ）$ 绕原点逆时针旋转 $90 °$ 得到的点的坐标是（）

A、 $（ 1 ， - 3 ）$ B、 $（ 1，3 ）$ C、 $（ 3 ， - 1 ）$ D、 $（ - 3，1 ）$

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5. 已知反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ ，下列结论中，不正确的是（）

A、图象必经过点 $(1 ， 2)$ B、y随x的增大而增大 C、图象在第一、三象限内 D、若 $x > 1$ ，则 $0 < y < 2$

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6. 下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；
④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等。上述说法不正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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7. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 15$ B、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 15$ C、 $x (x - 1) = 15$ D、 $x (x + 1) = 15$

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8. 如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若 $⊙ O$ 的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）

A、1 B、3 C、 $π$ D、 $2 π$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别是边 $A B$ ， $A C$ 上点，且 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{1}{3}$ ，若 $S_{△ A D E} = 5$ ，则四边形 $B D E C$ 的面积为（）

A、 $45$ B、 $10$ C、 $40$ D、 $15$

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10. 如图，A，B两点分别为 $⊙ O$ 与x轴，y轴的切点． $A B = 2 \sqrt{2}$ ， C为优弧 $A B$ 的中点，反比例函数 $y = \frac{2 k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点C，则k的值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、8 C、16 D、32

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x + c$ 图象上有点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < x_{2} < 1$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填写“<或>或=”）．

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12. 如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与这三条平行线分别交于点A，C，E，和点B，D，F．已知 $A C = 3 ， C E = 6 ， B F = 6$ ，则 $B D$ 的长为．

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13. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下
每批粒数 $n$
100
500
1 000
1 500
2 000
3 000
发芽的频数 $m$
94
466
928
1 396
1 858
2 790
发芽的频率 $\frac{m}{n}$ （精确到0.001）
0.940
0.932
0.928
0.931
0.929
0.930
根据上表估计，这种绿豆发芽的概率是．（精确到0.01）

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14. 已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，该圆锥的侧面展开图的面积为．

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15. 某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 $p (kPa)$ 是气体体积 $V (m^{3})$ 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于 $160 kPa$ 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积 $V$ 的取值范围．

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16. 研究抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ 的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），将三角板绕点O旋转任意角度时发现，交点A，B所连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是．

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三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. $(x - 3) (x - 1) = 3$

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18.
如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：BF=DE．

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19. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (n ， 3)$ ， $B (- 3 ， - 2)$ 两点．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)、过点A作 $A C ⊥ y$ 轴，垂足为C，求 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C}$ ．

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20. 在2024年元旦即将到来之际，福州某学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰，如图1所示，他在会场的两墙 $A B$ 、 $C D$ 之间悬挂一条近似抛物线 $y = a x^{2} - \frac{4}{5} x + 3$ 的彩带，如图2所示，已知墙 $A B$ 与 $C D$ 等高，且 $A B$ 、 $C D$ 之间的水平距离 $B D$ 为8米．

(1)、如图2，两墙 $A B$ 、 $C D$ 的高度是米，抛物线的顶点坐标为；

(2)、为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙 $A B$ 距离为3米，使抛物线 $F_{1}$ 的最低点距墙 $A B$ 的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．

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21. 如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P ，在近岸取点A和C ，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D ，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B ，测得AC＝50m ， CD＝120m ， AB＝80m ，请根据这些数据求河的宽度PA ．

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22. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D在边 $B C$ 上，以 $C D$ 为直径的 $⊙ O$ 与直线 $A B$ 相切于点E，连接 $O A$ ，且 $O A = O B$ ．连接 $C E$ 交 $O A$ 于点F．

(1)、求证： $A B = 2 A C$ ．

(2)、若 $A C = \sqrt{3}$ ，求线段 $O C ， C F$ 的长．

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23. 根据数学知识，完成下列问题．

(1)、把长为 $a$ 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．

(2)、据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 $10%$ ．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率．

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24. 如图1，抛物线 $y = x^{2} + b x + c （ a > 0$ ）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为 $(1 ， 0)$ ， $O C = 3 O B$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线 $B M$ 的距离相等时，求直线 $B M$ 的解析式；

(3)、已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m $(- 3 < m < - 1)$ ，点F的横坐标为 $m + 1$ ．过点D作x轴的垂线交直线 $A C$ 于点M，过点F作x轴的垂线交直线 $A C$ 于点N．
①如图2，连接 $D F$ ，求四边形 $D F N M$ 的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接 $A D$ 和 $F C$ ，试探究 $△ A D M$ 与 $△ C F N$ 的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．

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25. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 分别位于 $A B$ 两侧， $E$ 为 $A D$ 中点，连接 $B E$ ， $C E$ ．

(1)、如图1，若 $∠ B A C = ∠ A B D = 90 ° ， A C = 3 ， A B = B D = 4$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、如图2，连接 $C D$ 交 $A B$ 于点F，在 $C F$ 上取一点G使得 $F G = A F$ ．若 $A C = A D$ ， $B D = B F ， ∠ B D F = 60 °$ ．猜想 $B C$ 与 $B E$ 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)、如图3， $△ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形，若 $A B = 4$ ， $B D = 2$ ，请直接写出当 $2 C E - A E$ 取最大值时 $△ A C E$ 的面积．

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每批粒数 $n$	100	500	1 000	1 500	2 000	3 000
发芽的频数 $m$	94	466	928	1 396	1 858	2 790
发芽的频率 $\frac{m}{n}$ （精确到0.001）	0.940	0.932	0.928	0.931	0.929	0.930