黑龙江省齐齐哈尔市讷河市2023-2024学年九年级上学期期末教学质量测查数学试卷

试卷更新日期：2024-01-30 类型：期末考试

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一、单项选择题（每小题3分，满分30分）

1. 若关于 $x$ 方程 $(m - 2) x^{2} - 3 x = 0$ 是一元二次方程，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \neq 2$ B、 $m = 2$ C、 $m \neq 0$ D、 $m \geq 2$

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2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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3. 抛物线 $y = 3 {(x + 4)}^{2} - 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(4 ， - 5)$ B、 $(- 4 ， - 5)$ C、 $(4 ， 5)$ D、 $(- 4 ， 3)$

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4. 如图，将 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转得到 $Δ A D E$ ，点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上.若 $∠ A B D = 70 °$ ，则 $∠ C A E$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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5. 已知⊙O的半径为 $4$ cm，圆心O到直线的距离为 $3 \sqrt{2}$ cm，则直线与⊙O的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、无法确定

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6. 下列一元二次方程有实数根的为（）

A、 $2 x^{2} - x + 1 = 0$ B、 $x^{2} + 2 = 0$ C、 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ D、 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$

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7. 某种商品原来每件售价为 $100$ 元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为 $81$ 元设平均每次降价的百分率为 $x$ ，根据题意，所列方程正确的是（）

A、 $100 (1 - x) = 81$ B、 $100 {(1 - x)}^{2} = 81$ C、 $100 (1 - x^{2}) = 81$ D、 $100 (1 - 2 x) = 81$

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8. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在⊙O上， $O A ⊥ B C$ 于点 $E$ .若 $∠ A D C = 30 °$ ， $A E = 2$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $8$ D、 $4$

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9. 如图，在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 内作 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，将 $Δ A D F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $Δ A B G$ .若 $D F = 3$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、1 B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c 为常数，且 a \neq 0)$ 的图象顶点为 $P (1 ， m)$ ，经过点 $A (2 ， 1)$ .有下列结论：① $a < 0$ ；② $a b c > 0$ ；③ $4 a + 2 b + c = 1$ ；④当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；⑤对于任意实数，总有 $a t^{2} + b t \leq a + b$ .其中，正确的有（）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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二、填空题（每小题3分，满分21分）

11. 在函数 $y = \sqrt{x + 1} + {(x - 2)}^{0}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是.

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12. 已知圆锥的底面半径为 $3 c m$ ，母线长为 $5 c m$ ，则圆锥的侧面积为 $c m$ .

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13. 甲、乙两人参加社会实践活动，随机选取“做社区志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项，两人同时选择“做社区志愿者”的概率是.

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $Δ A B C$ 的内切圆半径 $r$ = .

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15. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 5$ 向左平移 $2$ 个单位长度，再向上平移 $3$ 个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为.

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16. 已知 $m$ ， $n$ ， $4$ 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 $m$ ， $n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + k + 2 = 0$ 的两个根，则 $k$ 的值为 .

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17. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 $2$ 的正六边形 $A B C D E F$ 的中心与原点 $O$ 重合， $A B ∥ x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $P$ .将 $Δ O A P$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第 $2023$ 次旋转结束时，点 $A$ 的坐标为.

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三、解答题（本题共7道大题，共69分）

18. 计算： $3^{- 1} + \sqrt[3]{27} - {(5 - \sqrt{5})}^{0} + | \sqrt{3} - \frac{1}{3} |$

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19.

(1)、请用公式法解方程： $3 x^{2} - 6 x - 2 = 0$

(2)、请用因式分解法解方程： $x^{2} + 6 x + 8 = 0$

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20. 如图，在每个小正方形边长为的正方形网格中，建立了如图所示的平面直角坐标系， $Δ A B C$ 的三个顶点的坐标是 $A (- 2 ， 4)$ 、 $B (- 4 ， 1)$ 、 $C (- 1 ， 2)$ .

(1)、画出 $Δ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $Δ A B C$ 绕原点 $O$ 按顺时针方向旋转180°得到的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并直接写出点 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 的坐标；

(3)、在（1）、（2）的条件下，若点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $P C_{2} + P B_{1}$ 的值最小，请直接写出 $P$ 点的坐标．

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21. 如图，⊙O是 $Δ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是⊙O的直径， $∠ D C A = ∠ B$ .

(1)、求证： $C D$ 是⊙O的切线；

(2)、若 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，且 $C D = 6$ ， $E D = 9$ ，求 $E F$ 的长.

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22. 某水果商店销售一种进价为 $30$ 元/千克的优质水果，若售价为 $40$ 元/千克，则一个月可售出 $400$ 千克.若售价在 $40$ 元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少 $10$ 千克.

(1)、当售价为 $45$ 元/千克时，每月销售水果千克；

(2)、当每月利润为 $5250$ 元时，这种水果的售价为多少？

(3)、当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？

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23. 综合与实践
问题情境
如图，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $R t Δ A B E$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $Δ C B E^{'}$ （点 $A$ 的对应点为 $C$ ），延长 $A E$ 交 $C E^{'}$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ .
解决问题
请根据图完成下列问题：

(1)、若 $∠ D A E = 58 °$ ，则 $∠ C B E^{'}$ = 度；

(2)、试判断四边形 $B E^{'} F E$ 的形状，并给予证明.

(3)、如图2，若 $D A = D E$ ，请直接写出线段 $C F$ 与 $F E^{'}$ 的数量关系；

(4)、如图1，若 $A B = 10$ ， $C F = 2$ ，则 $D E$ 的长为 .

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24. 综合与探究
如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (1 ， 0)$ 、 $C (0 ， - 3)$ 、 $B (n ， 0)$ ，连接 $A C$ ，点 $M$ 是 $A C$ 的中点，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $F$ ，连接 $F M$ .

(1)、求抛物线的解析式及 $n$ 的值；

(2)、点 $D$ 在抛物线的对称轴上，若 $Δ A C D$ 的周长最小，则点 $D$ 的坐标为；

(3)、求线段 $F M$ 的长及 $∠ A F M$ 的度数；

(4)、若点 $N$ 是 $x$ 轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点 $E$ ，使以点 $F$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $E$ 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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黑龙江省齐齐哈尔市讷河市2023-2024学年九年级上学期期末教学质量测查数学试卷

一、单项选择题 （每小题3分，满分30分）

二、填空题（每小题3分，满分21分）

三、解答题（本题共7道大题，共69分）

一、单项选择题（每小题3分，满分30分）