广东省深圳市南山区2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-01-30 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ y = l g (1 - x)} ， B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0}$

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2. 下列所给的等式中正确的为（）

A、 $\frac{2 π}{3} = 13 5^{∘}$ B、 $t a n \frac{π}{6} = \sqrt{3}$ C、 $s i n \frac{3 π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $c o s (- \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}$

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3. 已知命题 $p$ ：“ $\forall x \leq 0 ， x - c o s x < 0$ ”，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x \leq 0 ， x - c o s x \geq 0$ B、 $\exists x > 0 ， x - c o s x \geq 0$ C、 $\forall x \leq 0 ， x - c o s x \geq 0$ D、 $\forall x > 0 ， x - c o s x \geq 0$

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4. 设函数 $f (x) = 3^{x} + 2 x - 4$ 的零点为 $x_{0}$ ，则 $x_{0} \in$ （）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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5. 为了得到函数 $y = s i n \frac{x}{2}$ 的图象，只需将函数 $y = c o s (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x < 1 ， \\ x^{2} ， x \geq 1 ， \end{array}$ 若 $f (f (s i n θ)) = 2$ ，则 $θ$ 的值可以为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 设函数 $f (x) = x^{2} \cdot l n \frac{1 + x}{1 - x}$ ，则 $f (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $a = s i n 1 + c o s 1 ， b = l o g_{c o s 1} s i n 1 ， c = 2^{c o s 1}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = (2 m - m^{2}) x^{3 m}$ 为幂函数，则下列结论正确的为（）

A、 $m = 1$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 为单调递增函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， + ∞)$

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10. 已知 $A ， B ， C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，下列条件是“ $c o s A c o s B c o s C < 0$ ”的一个充分不必要条件的为（）

A、 $s i n (A + B) > 0$ B、 $c o s (A + B) > 0$ C、 $s i n (A - B) < 0$ D、 $c o s (A - B) < 0$

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11. 已知函数 $f (x) = l n x ， g (x) = l g x$ ，若 $f (m) = g (n)$ ，则下列结论可能成立的为（）

A、 $m = n$ B、 $n < m < 1$ C、 $m < 1 < n$ D、 $1 < m < n$

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足如下两个性质：① $\forall x \in R ， f [f (x) + g (- x)] = - 1$ ，其中函数 $g (x)$ 是函数 $y = l o g_{3} x$ 的反函数；②若 $x \neq y$ ，则 $f (x) \neq f (y)$ ，则下列结论正确的为（）

A、若 $a \neq b$ ，则 $(a - b) [g (a) - g (b)] > 0$ B、若点 $P (c o s θ ， s i n θ)$ 在曲线 $y = g (x)$ 上，则 $s i n 2 θ \geq 0$ C、存在点 $Q$ ，使得曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 关于点 $Q$ 对称 D、方程 $f (3 s i n x) + x = 1$ 恰有9个相异实数解

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知扇形的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，且弧长为 $π$ ，则该扇形的面积为.

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x$ ，若 $\forall x \in R ， f (1 - x) = f (1 + x)$ ，则 $m =$ .

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15. 已知当 $n \in N^{*}$ 时，函数 $f (x) = l n (x + a)^{n} + b$ 的图象恒过定点 $(- 1 ， 1)$ ，其中 $a ， b$ 为常数，则不等式 $\frac{x - b}{x - a} \leq 0$ 的解集为.

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16. 已知实数 $x ， y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} \leq \frac{9}{x + y}$ .记 $u = c o s x + c o s y$ ，则 $\frac{y}{x} =$ ， $u$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.

17. 计算下列各式的值.

(1)、 $3^{l o g_{3} 5} + 2 l g \frac{1}{2} - l g 25$ ；

(2)、 $(\sqrt{8})^{\frac{4}{3}} + \sqrt{(3 - π)^{2}} - (- 1)^{2024} \times π$ .

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18. 已知集合 $A = {x ∣ 2 a - 3 < x < a + 2} ， B = {x | \frac{1}{16} < 2^{x} < 4}$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求 $∁_{B} A$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19.

(1)、已知点 $P (- 3 ， a)$ 为角 $α$ 终边上一点，且 $t a n α = - \frac{4}{3}$ ，求 $c o s (π + α)$ 的值；

(2)、若 $t a n (β + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，求 $s i n 2 β + 2 c o s^{2} β$ 的值.

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20. 已知某产品在过去的32天内的日销售量 $Q (x)$ （单位：万件）与第 $x$ 天之间的函数关系为① $Q (x) = a (x - 8)^{2} + b$ ；② $Q (x) = \frac{k}{x} + m$ 这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：
$x$ （天）
2
4
10
20
$Q (x)$ （万件）
12
11
10.4
10.2

(1)、请确定 $Q (x)$ 的解析式，并说明理由；

(2)、若第 $x$ 天的每件产品的销售价格均为 $P (x)$ （单位：元），且 $P (x) = 60 - | x - 20 |$ ，求该产品在过去32天内的第 $x$ 天的销售额 $f (x)$ （单位：万元）的解析式及 $f (x)$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $0 < θ < π$ ，记 $f (x)$ 在区间 $[0 ， θ]$ 上的最大值为 $g (θ)$ ，求 $g (θ)$ 的解析式.

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22. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、（i）证明： $f (x)$ 为单调递增函数；
（ii） $\forall x \in (0 ， + ∞)$ ，若不等式 $\frac{f (1 + l o g_{2} x \cdot l o g_{2^{m}} x)}{x + 1} + \frac{x - 1}{x^{2} + 1} > 0$ 恒成立，求非零实数 $m$ 的取值范围.

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$x$ （天）	2	4	10	20
$Q (x)$ （万件）	12	11	10.4	10.2