广东省深圳市龙岗区2024届高三上学期期末质量监测数学试题
试卷更新日期:2024-01-30 类型:期末考试
一、单项选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
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1. 已知集合 , , 则( )A、 B、 C、 D、2. 已知复数 , 则在复平面内对应的点位于( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限3. 已知数列为等差数列,为其前项和, , 则( )A、 B、 C、 D、4. 已知 , 且 , 则的值为( )A、 B、 C、 D、5. 已知 , 则( )A、 B、2 C、 D、6. 过圆上一点A作圆的切线,切点为B,则的最小值为( )A、2 B、 C、 D、7. 已知函数是偶函数,则的值是( )A、 B、 C、1 D、28. 已知矩形ABCD中, , , 将沿BD折起至 , 当与AD所成角最大时,三棱锥的体积等于( )A、 B、 C、 D、
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
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9. 关于二项式的展开式,下列结论正确的是( )A、展开式所有项的系数和为 B、展开式二项式系数和为 C、展开式中第5项为 D、展开式中不含常数项10. 已知是夹角为的单位向量, , , 下列结论正确的是( )A、 B、 C、 D、在上的投影向量为11. 下列说法中正确的是( )A、用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本,则个体m被抽到的概率是0.1 B、已知一组数据1,2,m , 6,7的平均数为4,则这组数据的方差是 C、数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 D、若样本数据的标准差为8,则数据的标准差为3212. 已知抛物线的焦点为F , 准线与x轴的交点为P , 过点F的直线与抛物线交于点M , N , 过点P的直线与抛物线交于点A , B , 则A、 B、 C、 D、
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
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13. 函数y=cos2x的最小正周期为 .14. 有甲、乙、丙三项任务,其中甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,现从6人中任选4人承担 这三项任务,则共有种不同的选法.15. 已知是椭圆的左,右焦点,上两点满足 , , 则的离心率为 .16. 已知函数(且),若函数恰有一个零点,则实数的取值范围为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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17. 记的内角的A , B , C的对边分别为a , b , c , 已知.(1)、求B;(2)、若 , , 求的面积.18. 如图,在三棱锥中,平面 , , .(1)、求证:平面;(2)、若是的中点,求与平面所成角的余弦值.19. 已知数列满足 , 且对任意正整数 , 都有(1)、求数列的通项公式;(2)、求数列的前n项和 .20. 已知双曲线的左、右焦点分别为 , , 离心率为 , 过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点 , . 当时,的面积为5.(1)、求双曲线的标准方程;(2)、若直线与轴交于点 , 且 , , 求证:为定值.21. 某工厂采购了一批新的生产设备.经统计,设备正常状态下,生产的产品正品率为0.98.为监控设备生产过程,检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品,并检测质量.规定:抽检的10件产品中,若至少出现2件次品,则认为设备生产过程出现了异常情况,需对设备进行检测及修理.(1)、假设设备正常状态,记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数,求 , 并说明上述监控生产过程规定的合理性;(2)、该设备由甲、乙两个部件构成,若两个部件同时出现故障,则设备停止运转;若只有一个部件出现故障,则设备出现异常.已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p,由乙部件故障造成的概率为 . 若设备出现异常,需先检测其中一个部件,如果确认该部件出现故障,则进行修理,否则,继续对另一部件进行检测及修理.已知甲部件的检测费用1000元,修理费用5000元,乙部件的检测费用2000元,修理费用4000元.当设备出现异常时,仅考虑检测和修理总费用,应先检测甲部件还是乙部件,请说明理由.
参考数据: .
22. 已知函数 .(1)、讨论函数的单调性;(2)、若函数有两个零点 , 且 . 证明: .