广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高三上学期1月期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-01-30 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 2}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知复数 $z = 1 - \sqrt{3} i$ ，则 $z^{2}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{6} + a_{3} - a_{5} = 3$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、 $42$ B、 $21$ C、 $7$ D、 $3$

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4. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $s i n 2 α = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5. 已知 $5^{a} = 1 0^{b}$ ，则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $l o g_{5} 10$ D、 $1 - l g 2$

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6. 过圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点A作圆 $(x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，切点为B，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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7. 已知函数 $f (x) = x (1 + \frac{m}{1 - e^{x}})$ 是偶函数，则 $m$ 的值是（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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8. 已知矩形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，将 $△ C B D$ 沿BD折起至 $△ C^{'} B D$ ，当 $C^{'} B$ 与AD所成角最大时，三棱锥 $C^{'} - A B D$ 的体积等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 关于二项式 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{8}$ 的展开式，下列结论正确的是（）

A、展开式所有项的系数和为 $- 1$ B、展开式二项式系数和为 $256$ C、展开式中第5项为 $1120 x^{4}$ D、展开式中不含常数项

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10. 已知 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 是夹角为 $\frac{π}{3}$ 的单位向量， $a = e_{1} - 2 e_{2}$ ， $b = e_{1} + e_{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $| a | = \sqrt{3}$ B、 $a \cdot b = - \frac{1}{2}$ C、 $< a ， b > = \frac{2 π}{3}$ D、 $a$ 在 $b$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} b$

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11. 下列说法中正确的是（）

A、用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B、已知一组数据1，2，m ， 6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 $\frac{26}{5}$ C、数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{10}$ 的标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， ⋯ ， 2 x_{10} - 1$ 的标准差为32

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12. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，准线与x轴的交点为P ，过点F的直线与抛物线交于点M ， N ，过点P的直线与抛物线交于点A ， B ，则

A、 $| M N | \geq 4$ B、 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 4$ C、 ${| O A |}^{2} + {| O B |}^{2} > 10$ D、 $| A F | + | B F | > 2 | P F |$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 函数y=cos²x的最小正周期为．

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14. 有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有种不同的选法．

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15. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $E$ 上两点 $A ， B$ 满足 $3 \vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B}$ ， $| A F_{1} | = 2 | A F_{2} |$ ，则 $E$ 的离心率为．

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16. 已知函数 $f (x) = a^{x} + (1 + a)^{x} - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若函数 $f (x)$ 恰有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. $△ A B C$ 的三个内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $c o s A = \frac{2 c - a}{2 b}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $c = 3$ ， $b = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} P C = 2$ ， $P A = 2 \sqrt{6}$ .

(1)、求证：AB⟂平面PBC；

(2)、若 $M$ 是 $P A$ 的中点，求 $C M$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意正整数 $m$ ， $n$ 都有 $a_{m + n} = a_{n} + a_{m} + 2 m n .$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(- 1)^{n} a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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20. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{3}{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线的左、右两支分别交于点 $A$ ， $B$ ．当 $B F_{2} ⊥ l$ 时， $△ B F_{1} F_{2}$ 的面积为5．

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，且 $\vec{M A} = λ \vec{A F_{1}}$ ， $\vec{M B} = μ \vec{B F_{1}}$ ，求证： $λ + μ$ 为定值．

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21. 某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．

(1)、假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求 $P (X ≥ 2)$ ，并说明上述监控生产过程规定的合理性；

(2)、该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为 $1 - p$ ．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．
参考数据： $0.9 8^{10} \approx 0.82 ， 0.9 8^{9} \approx 0.83 ， 0.9 8^{8} \approx 0.85$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x} - 1$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ．证明： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} > \frac{1}{a}$ ．

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