广东省深圳市2023-2024学年重点中学高一（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-01-30 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数 $f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{3 x - 2}} + (x - 1)^{0}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{2}{3} ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{2}{3} ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $[\frac{2}{3} ， + \infty]$

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2. 若命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 1 \geq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$

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3. “ $x > 0$ ”是“ $x^{2} + x > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $y = a^{x + 4} + 2 (a > 0$ ，且 $a > 1)$ 的图象恒过点 $P$ ，若角 $α$ 的终边经过点 $P$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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5. 下列是奇函数，且在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{- 1}$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = e^{x}$ D、 $y = x^{3}$

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6. 已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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7. 将函数 $y = 2 c o s (4 x - \frac{π}{3}) + 1$ 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）

A、 $x = \frac{π}{12}$ B、 $x = - \frac{π}{6}$ C、 $x = - \frac{π}{3}$ D、 $x = - \frac{π}{12}$

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8. 根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于 $($ 或等于 $) 0.2$ 毫克 $/$ 毫升属于酒驾 $.$ 假设某驾驶员一天晚上 $6$ 点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到 $1$ 毫克 $/$ 毫升 $.$ 如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时 $10 %$ 的速度减少，则他次日上午最早点 $($ 结果取整数 $)$ 开车才不构成酒驾 $. ($ 参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477)$ （）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列是函数图象的是（）

A、 B、
C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = s i n x + \frac{1}{s i n x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $R$ B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称
C、 $f (- \frac{π}{6}) = - \frac{5}{2}$ D、当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $2$

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11. 已知 $f (x)$ 的定义域是 $R$ ， $f (x)$ 既是奇函数又是减函数．若 $a$ ， $b \in R$ ，且 $a + b < 0$ ，则（）

A、 $f (a + b) > 0$ B、 $f (a) + f (b) < 0$ C、 $f (a + b) < 0$ D、 $f (a) + f (b) > 0$

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12. 若函数 $f (x)$ 的图象是连续的，且函数 $f (x)$ 的唯一零点同在区间 $(0 ， 4)$ ， $(0 ， 2)$ ， $(1 ， \frac{3}{2})$ ， $(\frac{5}{4} ， \frac{3}{2})$ 内，则与 $f (0)$ 符号不同的是（）

A、 $f (4)$ B、 $f (2)$ C、 $f (1)$ D、 $f (\frac{3}{2})$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知 $a > 0$ ，计算： $a^{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}} \div a^{\frac{1}{6}} =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} l o g_{\frac{1}{2}} x ， (x > 0) \\ 2^{x} ， (x \leq 0) \end{array}$ ，则 $f [f (2)] =$ ．

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15. 若 $s i n θ$ 、 $c o s θ$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + a = 0$ 的两个根，则 $c o s (θ - \frac{3 π}{2}) + s i n (\frac{3 π}{2} + θ) =$ .

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16. 设当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = 3 c o s x - s i n x$ ， $x \in R$ 取得最大值，则 $c o s θ =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 设 $U = R$ ，已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ．

(1)、当 $m = 4$ 时，求 $∁_{U} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $B \neq \emptyset$ ，且 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1 (a ， b \in R$ 且 $a \neq 0)$ ， $x \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的最小值为 $f (1) = 0$ ，求 $f (x)$ 的解析式，并写出单调区间；

(2)、在 $(1)$ 的条件下， $f (x) > x + k$ 在区间 $[1，3]$ 上恒成立，试求 $k$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 (\sqrt{3} c o s x - s i n x) s i n x$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与单调增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值与最小值．

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20. 某公司为了提高生产效率，决定投入 $160$ 万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $n (n \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 n^{2} - 2 n)$ 万元，每年的销售收入 $98$ 万元 $.$ 使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 $20$ 万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 $30$ 万元的价格处理 $.$ 哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额 $= \frac{总盈利额}{年度}$ ）.

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21. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - 3^{- x}$ ， $x \in R$ ．

(1)、证明 $f (x)$ 是增函数；

(2)、若不等式 $3^{x} f^{2} (x) + m \cdot f (x) \geq 0$ 对于 $\forall x \in [1，2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l g \frac{1 - x}{1 + x}$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、函数 $g (x) = 2 - a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0，1)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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