浙江省温州市温州名校2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-30 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共8小题，解小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置.

1. 直线 $\sqrt{2}$ x+ $\sqrt{6}$ y+1=0的倾斜角是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
2. 抛物线 $y = - \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点到准线的距离（）

A、4 B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
3. 已知直线 $l$ 上有两点 $A (1 ， 2 ， 3) ， B (2 ， 1 ， 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 3 ， 2 ， m)$ ，若 $l / / α$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

查看试题解析
4. 已知 $f (x) = f^{'} (2023) l n x - \frac{1}{2} x^{2} + x$ ，则 $f^{'} (2023) =$ （）

A、 $0$ B、 $- 2023$ C、 $1$ D、 $2023$

查看试题解析
5. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，焦距为 $2 c$ ，若 $a ， \frac{\sqrt{2}}{2} b ， c$ 成等比数列，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
6. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设 ${a_{n}}$ 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2， $a_{5} = 3$ ，则数列 ${\frac{2}{a_{n} + a_{n + 1}}}$ 的前24项和为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、6

查看试题解析
7. 动点 $M$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 从点 $B_{1}$ 开始沿表面运动，且与平面 $A_{1} D C_{1}$ 的距离保持不变，则动直线 $A_{1} M$ 与平面 $A_{1} D C_{1}$ 所成角正弦值的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ C、 $[\frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$

查看试题解析
8. 若 $a = s i n 3 ， b = \frac{1}{5} ， c = e^{- \frac{4}{5}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

查看试题解析

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知点 $P (1 ， 2 ， 3)$ ，则（）

A、点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $P_{1} (1 ， - 2 ， - 3)$ B、点 $P$ 关于 $O x y$ 平面的对称点是 $P_{2} (- 1 ， - 2 ， 3)$ C、点 $P$ 关于 $z$ 轴的对称点是 $P_{3} (1 ， 2 ， - 3)$ D、点 $P$ 关于原点的对称点是 $P_{4} (- 1 ， - 2 ， - 3)$

查看试题解析
10. 已知 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x + 1$ B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(e ， + ∞)$ C、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(e ， + ∞)$

查看试题解析
11. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = S_{12}$ ，且 $(n + 1) S_{n} < n S_{n + 1}$ $(n \in N^{*})$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 B、 $S_{10}$ 和 $S_{11}$ 均为 $S_{n}$ 的最小值 C、存在正整数 $k$ ，使得 $S_{k} = 0$ D、存在正整数 $m$ ，使得 $S_{m} = S_{3 m}$

查看试题解析
12. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴的上、下两个端点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $△ F_{2} B_{1} B_{2}$ 的面积为1，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点P是C上除长轴和短轴端点外的任意一点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线交C的长轴于点M ，则（）

A、椭圆的焦距等于短轴长 B、 $△ P B_{1} B_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $| P F_{2} | = \sqrt{2} | F_{2} M |$ D、 $| M B_{1} | + | M B_{2} |$ 的取值范围是 $(2 ， \sqrt{6})$

查看试题解析

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应位置.

13. 直线 $y = x - 1$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为.

查看试题解析
14. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第三天走的路程为.

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = e^{| x + 1 |} + s i n (\frac{π}{2} x)$ ，则使得 $f (x + 1) > f (x)$ 成立的 $x$ 的取值范围是.

查看试题解析
16. 已知点 $F_{1}$ 是抛物线 $C_{1}$ ： $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 与椭圆 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的公共焦点， $F_{2}$ 是椭圆 $C_{2}$ 的另一焦点，P是抛物线 $C_{1}$ 上的动点，当 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}$ 取得最小值时，点P恰好在椭圆 $C_{2}$ 上，则椭圆 $C_{2}$ 的离心率为.

查看试题解析

四、解答题：木大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知公差不为零的正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 15$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B C$ 是边长为2的正三角形，O为 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $C O ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $B B_{1} = 2$ ，求平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $A B C_{1}$ 夹角的余弦值.

查看试题解析
19. 已知 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $O$ 为坐标原点， $M$ 为 $C$ 的准线 $l$ 上的一点，线段 $M F$ 长度的最小值为 $2$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 作一条直线 $m$ ，交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，试问在准线 $l$ 上是否存在定点 $N$ ，使得直线 $N A$ 与 $N B$ 的斜率之和等于直线 $N F$ 斜率的平方?若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2} - a x$ 有两个极值点为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{5}{2}$ 时，求 $f (x_{2}) - f (x_{1})$ 的值；

(2)、若 $x_{2} \geq e x_{1}$ （ $e$ 为自然对数的底数），求 $f (x_{2}) - f (x_{1})$ 的最大值.

查看试题解析
21. 已知双曲线 $E$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ ，点 $(2 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在双曲线 $E$ 上．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作两条相互垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，与 $E$ 的右支分别交 $A$ ， $C$ 两点和 $B$ ， $D$ 两点，求四边形 $A B C D$ 面积的最小值．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a x - l n x ， a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，设 $g (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{f (x)}$ ，求证：函数 $g (x)$ 存在极大值点 $x_{0}$ ，且 $\frac{2}{e^{2}} < g (x_{0}) < \frac{2}{3}$ .

查看试题解析