浙江省宁波市镇海名校2023-2024学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-01-30 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. $c o s \frac{2024 π}{3} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知 $| \vec{O A} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{O B} | = 1$ ，且 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $| \vec{A B} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 为了得到 $y = s i n (5 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只要将函数 $y = s i n 5 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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4. 已知 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{3} | \vec{b} |$ ，且满足 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{5 π}{6}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{3} \vec{b}$ B、 $- \sqrt{3} \vec{b}$ C、 $3 \vec{b}$ D、 $- 3 \vec{b}$

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5. 已知 $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s 2 α + s i n 2 α + 2 =$ （）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、2

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6. 若 $a = {(\frac{1}{2})}^{1.2}$ ， $b = c o s^{2} \frac{π}{12} - s i n^{2} \frac{π}{12}$ ， $c = \frac{2 t a n \frac{3 π}{8}}{1 + t a n^{2} \frac{3 π}{8}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $A C$ 边上的中点，点 $E$ 满足 $\vec{E C} = 3 \vec{B E}$ ，点 $P$ 是直线 $B D$ ， $A E$ 的交点，过点 $P$ 做一条直线交线段 $A C$ 于点 $M$ ，交线段 $B C$ 于点 $N$ （其中点 $M$ ， $N$ 均不与端点重合）设 $\vec{C M} = m \vec{C A}$ ， $\vec{C N} = n \vec{C B}$ ，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4 + \sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{16}{5}$

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8. 已知 $c o s (140 ° - α) + s i n (110 ° + α) = s i n (130 ° - α)$ ，求 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、相位为 $2 x + \frac{π}{6}$ B、对称中心为 $(- \frac{π}{12} + k π ， 0)$ ， $k \in Z$ C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \frac{π}{3} + k π ， \frac{π}{6} + k π)$ ， $k \in Z$ D、将函数 $y = f (x)$ 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = 2 s i n (x + \frac{π}{6}) + 1$ 的图象

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10. 下列说法正确的是（）

A、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面内两个不共线的向量，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， - \vec{a} + 3 \vec{b}}$ 可作为平面的一组基底 B、 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} | = - 2 | \vec{a} | + 3 | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 D、 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{1}{2} | \vec{A B} | | \vec{A C} |$ ， $(\vec{A B} - \vec{A C}) \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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11. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + \frac{4}{c o s x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的图象关于 $(π ， 1)$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $(- ∞ ， - 3] \cup [5 ， + ∞)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} (- x) | ， - 4 < x < 0 \\ 4 s i n (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) ， 0 \leq x < 24 \end{array}$ ，若 $g (x) = f (x) - t$ （ $t > 0$ ）有 $2 n$ 个零点，记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{2 n - 1}$ ， $x_{2 n}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{2 n - 1} < x_{2 n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $t \in (0 ， 2)$ B、 $x_{1} + x_{2} \in (- ∞ ， - 2)$ C、 $x_{3} x_{4} \in (12 ， \frac{55}{4})$ D、 $x_{3} + 2 (x_{4} + x_{5} + \cdot \cdot \cdot + x_{2 n - 1}) + x_{2 n} = 182$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知一个扇形的面积和弧长均为 $π$ ，则该扇形的圆心角为.

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14. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为两个单位向量，且 $⟨ \vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}} ⟩ = \frac{2 π}{3}$ ，若 $\vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ 与 $3 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ 垂直，则 $λ =$ .

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15. 已知 $s i n (\frac{x}{2} + \frac{5 π}{24}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且 $x \in (π ， 2 π)$ ，则 $c o s (x + \frac{3 π}{4}) =$ .

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16. 函数 $f (x) = s i n (ω x + 3 φ) - 2 s i n φ c o s (ω x + 2 φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ），设 $T$ 为函数 $f (x)$ 的最小正周期， $f (\frac{T}{4}) = \frac{1}{2}$ ，且函数 $f (x)$ 在 $(π ， 2 π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17. 单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值：

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $k$ 的取值范围.

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18. 已知 $f (α) = \frac{s i n (3 π - α) c o s (\frac{π}{2} + α) c o s (2 π - α) t a n (π - α)}{c o s (π + α) s i n (- α) s i n (\frac{3 π}{2} + α) t a n (- π - α)}$

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，且满足 $f (α) + \frac{1}{f (α)} = - \frac{10}{3}$ ，求 $\frac{c o s 2 α}{\sqrt{2} s i n (α + \frac{π}{4})}$ 的值.

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19. 如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形 $A B C D$ 所示），其中 $O$ 为生活区入口.已知有三条路 $A B$ ， $B C$ ， $A D$ ，路 $A D$ 上有一个观赏塘 $T$ ，其中 $A T = 300 m$ ，路 $B C$ 上有一个风雨走廊的入口 $L$ ，其中 $B L = 200 m$ .现要修建两条路 $O T$ ， $O L$ ，修建 $O T$ ， $O L$ 费用成本分别为 $2 λ / m$ ， $3 λ / m$ .设 $∠ T O A = α$ .

(1)、当 $A O = 600 m$ ， $B O = 200 m$ 时，求张角 $∠ T O L$ 的正切值；

(2)、当 $O T ⊥ O L$ 时，求当 $α$ 取多少时，修建 $O T$ ， $O L$ 的总费用最少，并求出此的总费用.

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20. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (c o s α ， s i n α)$ ， $\vec{c} = (- 1 ， 0)$ .

(1)、求 $| \vec{b} + \vec{c} |$ 的最大值，并求此时 $α$ 的值；

(2)、若 $α \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围.

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21. 如图是函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ 的部分图象，其中 $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ .其中 $B$ 为图象最高点， $C ， D$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $△ B C D$ 为等腰直角三角形， $| C D | = 2$ ， ▲ .（从下面三个条件中任选一个，补充在橫线处并解答）
① $f (x + \frac{1}{2}) = f (- x + \frac{1}{2})$ ；② $f (x - \frac{1}{2})$ 是奇函数；③ $f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (\frac{2}{π} x + \frac{1}{2})$ ，不等式 $m s i n^{2} x - g (x) \leq 4 - 6 m$ 对于 $\forall x \in R$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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22. 函数 $f (x) = 2 s i n 2 x + 2 | 2 s i n (x + \frac{π}{4}) - t | + t + 2$ ，最大值为 $M (t)$ ，最小值为 $m (t)$ .

(1)、设 $g (t) = M (t) - m (t)$ ，求 $g (t)$ ；

(2)、设 $s \in R$ ，若 $| f (x) + s | \leq 6$ 对 $x ∈ R$ 恒成立，求 $s + t$ 的取值范围.

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