2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.6.1 正多边形与圆同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. ⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（　　）

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{3}$

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2. 如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（）

A、 $R s i n 20 °$ B、 $R s i n 40 °$ C、 $2 R s i n 20 °$ D、 $2 R s i n 40 °$

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3. 我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 $π$ 的近似值为3.1416．如图， $⊙ O$ 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 $⊙ O$ 的面积，可得 $π$ 的估计值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 $π$ 的估计值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 如图， $A B$ ， $B C$ 为 $⊙ O$ 的两条弦，连结 $O A$ ， $O C$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的延长线上一点．若 $∠ C B D = 65 °$ ，则 $∠ A O C$ 为（）

A、 $110 °$ B、 $115 °$ C、 $125 °$ D、 $130 °$

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5. 如图， $P$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的边 $E F$ 上一点，则 $∠ A P C$ 的度数不可能是（）

A、 $59 °$ B、 $60 °$ C、 $61 °$ D、 $62 °$

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6. 如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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7. ⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（）

A、1∶ $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ ∶ $\sqrt{2}$ C、3∶2 D、1∶2

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8. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（）

A、不能构成三角形 B、这个三角形是等腰三角形 C、这个三角形是直角三角形 D、这个三角形是钝角三角形

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二、填空题

9. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $P$ 在 $A E$ 上，则 $∠ C P B$ 的度数为．

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10. 请阅读下列材料，解答问题：
克罗狄斯 $\cdot$ 托勒密 $($ 约 $90$ 年 $- 168$ 年 $)$ ，是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．
托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．
如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = 2$ ，则对角线 $B D$ 的长为．

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11. 如图，正六边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 内部有一个正五形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5}$ ，且 $A_{3} A_{4} // B_{3} B_{4}$ ，直线 $l$ 经过 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ ，则直线 $l$ 与 $A_{1} A_{2}$ 的夹角 $α =$ $^{°}$ .

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12. 观察下列结论：
⑴如图①，在正三角形 $A B C$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = C M$ ， $∠ N O C = 60 °$ ；

⑵如图②，在正方形 $A B C D$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = D M$ ， $∠ N O D = 90 °$ ；

⑶如图③，在正五边形 $A B C D E$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = E M$ ， $∠ N O E = 108 °$ ；……

根据以上规律，在正n边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} \dots \dots A_{n}$ 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是 $A_{1} A_{2} ， A_{2} A_{3}$ 上的点，且 $A_{1} M = A_{2} N$ ， $A_{1} N$ 与 $A_{n} M$ 相交于O．也会有类似的结论．你的结论是．

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三、解答题

13. 我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率 $π$ 的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率 $π$ 的值.

(1)、对于边长为 $a$ 的正方形，其外接圆半径为，根据故事中的方法，用该正方形的周长 $4 a$ 替代它的外接圆周长，利用公式 $C = 2 π r$ ，可以估算 $π = \frac{C}{2 r} =$ .

(2)、类比(1)，当正多边形为正六边形时，估计 $π$ 的值.

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14. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ， $P$ 为 $\overset{⌢}{D E}$ 上的一点（点 $P$ 不与点 $D ， E$ 重合），求 $∠ C P D$ 的余角的度数．

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四、综合题

15. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接AE，DE，CE.

(1)、求证：AE=DE；

(2)、若CE=1，求四边形AECD的面积.

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16. 圆周率 $π$ 的故事
我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率 $π$ 的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率 $π$ 的值.

(1)、对于边长为a的正方形，其外接圆半径为，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式 $C = 2 π r$ ，可以估算 $π = \frac{C}{2 r} =$ .

(2)、类比（1），当正多边形为正六边形时，估计 $π$ 的值.

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2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.6.1 正多边形与圆 同步分层训练培优卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.6.1 正多边形与圆同步分层训练培优卷