2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.5 三角形的内切圆同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，若 $△ A B C$ 的周长为18，面积为9，则 $⊙ O$ 的半径是（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、1.5 D、2

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2. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $B O$ 、 $C O$ 分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ ， $A O = 2$ ，下面结论中不一定正确的是（）

A、 $∠ B O C = 120 °$ B、 $∠ B A O = 30 °$ C、 $O B = 3$ D、点O到直线 $B C$ 的距离是1

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3. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列命题是假命题的是（）

A、在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 B、圆内接四边形的对角互补 C、三角形的内心到三边的距离相等 D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点

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5. 课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， …的线段（如图）.”记 $△ O A A_{1}$ ， $△ O A_{1} A_{2}$ ， …， $△ O A_{n - 1} A_{n}$ 的内切圆的半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ， …， $r_{n}$ ，若 $r_{1} + r_{2} + ⋯ + r_{n} = 10$ ，则n的值是（）

A、24 B、25 C、26 D、27

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6. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为圆上一点， $I$ 为 $△ A B C$ 的内心， $A I$ 交 $⊙ O$ 于D， $O I ⊥ A D$ 于 $I$ ，连接 $B D$ ，则 $A B$ 与 $B D$ 的关系是（）

A、 $A B = 2 B D$ B、 $A B = \sqrt{2} B D$ C、 $A B = \sqrt{5} B D$ D、 $A B = \sqrt{3} B D$

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7. 如图，在正 $△ A B C$ 中，D，E分别在边 $A C$ ， $B C$ 上，连接 $D E$ ， $∠ A D E$ 的平分线过 $△ A B C$ 的内心O，交 $A B$ 于点F，连接 $E F$ ．若要知道 $△ A B C$ 的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（）

A、 $△ C D E$ B、 $△ A D F$ C、 $△ B E F$ D、 $△ D E F$

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8. 如图，在边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，动点E在 $A B$ 边上（与点A、B均不重合），点F在对角线 $A C$ 上， $C E$ 与 $B F$ 相交于点G，连接 $A G ， D F$ ，若 $A F = B E$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $D F = C E$ B、 $∠ B G C = 120 °$ C、 $A F^{2} = E G \cdot E C$ D、 $A G$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

9. 正三角形的内切圆与外接圆面积之比为．

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10. Rt $△$ ABC的斜边为13，其内切圆的半径等于2，则Rt $△$ ABC的周长等于．

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11. 如图，直线 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 与 $⊙ O$ 分别相切于点D，E，F，若 $∠ B = α$ ， $∠ C = β$ ， $∠ D E F = γ$ ，则 $γ =$ ．（用含 $α$ 、 $β$ 的式子表示）

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12. 如图，点I为的 $△ A B C$ 内心，连接 $A I$ 并延长交 $△ A B C$ 的外接圆于点D，点E为弦 $A C$ 的中点，连接 $C D$ ， $E I$ ， $I C$ ，当 $A I = 2 C D ， I C = 6 ， I D = 5$ 时， $c o s ∠ A I E =$ .

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13. 如题图所示，在 $△ A B C$ 中存在一面积为 $π$ 的内切圆，其圆心为点 $O$ ，连接 $A O$ ，若满足 $A B + A C = 2 a$ ， $B C = \frac{3}{2} a$ ， $t a n ∠ O A C = \frac{16}{a^{2}}$ ，则实数 $a$ 的值为．

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三、解答题

14. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．

(1)、求CE的长；

(2)、求证：△ABC为等腰三角形．

(3)、求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．

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15. 如图，已知△ABC，∠B=40°．

(1)、在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；

(2)、连接EF，DF，求∠EFD的度数．

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四、综合题

16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - \frac{3}{4} x + 6$ 的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B， $⊙ P$ 内切于 $△ A B O$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点P，交直线 $A B$ 于点C，D（C在点D的左侧）.

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求 $△ C D E$ 的面积.

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17. 如图，点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线与边 $B C$ 相交于点 $F$ ，与 $△ A B C$ 的外接圆相交于点 $D$ ．

(1)、求证： $S_{△ A B F} ： S_{△ A C F} = A B ： A C$ ；

(2)、求证： $A B ： A C = B F ： C F$ ；

(3)、求证： $A F^{2} = A B \cdot A C - B F \cdot C F$ ；

(4)、猜想：线段 $D F ， D E ， D A$ 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）

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2023-2024学年沪科版初中数学九年级下册 24.5 三角形的内切圆 同步分层训练培优卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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