2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 一条弦将圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为（　　）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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2. 下列命题正确的是（）

A、相等的圆心角所对的两条弦相等 B、圆既是中心对称图形又是轴对称图形 C、两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等 D、等弧就是长度相等的弧

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3. 如图所示，在⊙O中， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ ，∠A=30°，则∠B=（）

A、150° B、75° C、60° D、15°

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4. 如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）

A、15 B、15+5 $\sqrt{2}$ C、20 D、15+5 $\sqrt{5}$

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5. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ， $C$ 、 $D$ 是直径 $A B$ 的同侧圆周上的两点， $∠ A O C = 100 °$ ， $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，动点 $P$ 在线段 $A B$ 上，则 $P C + P D$ 的最小值为（）

A、 $r$ B、 $\sqrt{2}$ $r$ C、 $\sqrt{3}$ $r$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ $r$

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6. 如图，点 $P_{1} ~ P_{8}$ 是 $⊙ O$ 的八等分点．若 $△ P_{1} P_{3} P_{7}$ ，四边形 $P_{3} P_{4} P_{6} P_{7}$ 的周长分别为a，b，则下列正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a = b$ C、 $a > b$ D、a，b大小无法比较

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7. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $A C$ 是弦，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，点 $E$ 是 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点，连接 $O D$ 、 $B D$ 分别交 $A C$ 于点 $Q$ 和点 $P$ ，连接 $O E$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $O D ⊥ A C$ B、 $C E = \frac{1}{2} B D$ C、 $O E ∥ B D$ D、 $C D^{2} = D P \cdot B D$

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二、填空题

8. 在半径为2的 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 的长为2，则弦 $A B$ 所对的圆心角的度数为．

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9. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是 $\overset{⌢}{E B}$ 的三等分点．若∠BOC=40°，则∠AOE的大小是．

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10. 如图所示，AB是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 8$ ，点 $M$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ M A B = 2 0^{°} ， N$ 是弧MB的中点， $P$ 是直径AB上的一动点，若 $M N = 1$ ，则 $△ P M N$ 的周长的最小值为.

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11. 圆 $⊙ O$ 的半径为4，AB、CD是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $A B = C D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $S_{△ A O D} + S_{△ B O C}$ 最大为．

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12. 如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是．

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三、解答题

13. 如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．

(1)、当BC=6时，求线段OD的长．

(2)、求DE的长．

(3)、在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．

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四、综合题

14. 如图，已知 $A B$ 是⊙ $O$ 的直径，且 $A B = 4$ ，点 $C$ 在半径 $O A$ 上(点 $C$ 与点 $O$ 、点 $A$ 不重合)，过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线交⊙ $O$ 于点 $D$ . 连接 $O D$ ，过点 $B$ 作 $O D$ 的平行线交⊙ $O$ 于点 $E$ ，交 $C D$ 的延长线于点 $F$ .

(1)、若点 $E$ 是弧BD的中点，求 $∠ F$ 的度数；

(2)、求证： $B E = 2 O C$ ；

(3)、设 $A C = x$ ，则当 $x$ 为何值时 $B E \cdot E F$ 的值最大? 最大值是多少?

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15. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，∴MA＝MC，…

(1)、请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为；

(3)、如图4，已知等边 $△$ ABC内接于⊙O，AB = 8，D为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求 $△$ BDC的周长．

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2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 同步分层训练培优卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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