2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知m，n是方程x²+2x﹣5=0的两个实数根，则m²﹣mn+3m+n=（　　）

A、6 B、7 C、8 D、9

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2. 若关于 $x$ 的方程 $(k + 2) x^{2} + 3 x + k^{2} = 0$ 的两根互为倒数，则 $k =$ （）

A、3 B、1 C、 $- 1$ D、 $\pm 1$

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3. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m + 2 = 0$ 有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（）

A、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$

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4. 设 $x^{2} - p x + q = 0$ 的两实根为 $α$ ， $β$ ，而以 $α^{2}$ ， $β^{2}$ 为根的一元二次方程仍是 $x^{2} - p x + q = 0$ ，则数对 $(p ， q)$ 的个数是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $0$

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5. 抛物线y＝ax²﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）两点，若x₁+x₂＜0，则关于直线y＝ax+k；甲答：一定经过一、四象限，乙答：一定经过一、三象限．则正确的是（　　）

A、甲乙均错 B、甲乙均对 C、甲错乙对 D、甲对乙错

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + 2 n = 0$ 有两个整数根且乘积为正，关于 $y$ 的一元二次方程 $y^{2} + 2 n y + 2 m = 0$ 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ${(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} \geq 2$ ；③ $- 1 \leq 2 m - 2 n \leq 1$ ，其中正确结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 一元二次方程 $M ： a x^{2} + b x + c = 0 ； N ： c x^{2} + b x + a = 0$ ，其中 $a c \neq 0 ， a \neq c$ ，给出以下四个结论：(1)若方程 $M$ 有两个不相等的实数根，则方程 $N$ 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 $M$ 的两根符号相同，则方程 $N$ 的两根符号也相同；(3)若 $m$ 是方程 $M$ 的一个根，则 $\frac{1}{m}$ 是方程 $N$ 的一个根；(4)若方程 $M$ 和方程 $N$ 有一个相同的根，则这个根必是 $x = 1$ .其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 规定：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x²+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x²+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象上，则关于x的方程mx²﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）

A、② B、①③ C、②③④ D、②④

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二、填空题

9. 已知m，n是方程x²+2x﹣5=0的两个实数根，则m²﹣mn+3m+n= ．

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10. 已知a，b是一元二次方程x²-6x+4=0的两个根，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ =

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11. 已知x₁ ， x₂是关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m - 1 = 0$ 的两实数根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6$ ，则m的值是．

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12. 已知m为方程 $x^{2} + 3 x - 2022 = 0$ 的根，那么 $m^{3} + 4 m^{2} - 2019 m - 2023$ 的值为．

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13. 已知关于x的方程kx²+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是．

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三、解答题

14. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (m + 3) x + m + 1 = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是原方程的两根，且 $| x_{1} - x_{2} | = 2 \sqrt{5}$ ，求 $m$ 的值．

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15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程： $k^{2} x^{2} + (1 - 2 k) x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若原方程的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且满足 $| x_{1} | + | x_{2} | = 2 x_{1} x_{2} - 3$ ，求 $k$ 的值.

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四、综合题

16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 k x + k^{2} + k + 1 = 0$ 有两个实数根．

(1)、试求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若此方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $| x_{1} | + | x_{2} | = 2$ ，试求 $k$ 的值．

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17. 若我们规定：在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标为 $(x ， y_{1})$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x ， y_{2})$ ， $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的差构成一个新函数 $y$ ，即 $y = y_{1} - y_{2}$ ．称 $y$ 是 $y_{1} - y_{2}$ 的“数天数函数”， $P$ 为“天数点 $1$ ”， $Q$ 为“天数点 $2$ ”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）

(1)、已知“天数点 $1$ ”为点 $A (x$ ， $k x + 4$ $)$ ， “天数点 $2$ ”为点 $B (x$ ， $2 x)$ ．点 $C (2$ ， $3)$ 在“数天数函数” $y = y_{1} - y_{2}$ 图像上，求 $y$ 的解析式；

(2)、已知“天数点 $1$ ”为点 $M (x$ ， $x^{2} + 3$ $)$ ， “天数点 $2$ ”为点 $N (x$ ， $3 x)$ ， $y$ 是“数天数函数，求 $x + y$ 的最小值．

(3)、关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (m - 2) x + \frac{1}{2} m - 3 = 0$ 的两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ， “数天数函数” $S = S_{1} - S_{2}$ ．若 $S_{1} = 2 x_{1}$ ， $S_{2} = - x_{2}$ ，且 $S = m + 1$ ，求 $m$ 的值．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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