2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.3 一元二次方程的根的判别式同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若关于x的一元二次方程（a+2）x²-3x＋1=0有实数根，则a的取值范围是（）

A、 $a ⩽ \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ B、 $a ⩽ \frac{1}{4}$ C、 $a < \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ D、 $a < \frac{1}{4}$

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2. 关于 $x$ 的方程 $(a - 5) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 满足（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a > 1$ 且 $a \neq 5$ C、 $a \geq 1$ 且 $a \neq 5$ D、 $a \neq 5$

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3. 关于x的方程 $a x^{2} + (1 - a) x - 1 = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时，方程无实数根 B、当 $a = - 1$ 时，方程只有一个实数根 C、当 $a = 1$ 时，有两个不相等的实数根 D、当 $a \neq 0$ 时，方程有两个相等的实数根

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4. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的图象与 $x$ 轴的交点个数是（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、不能确定

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5. 已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x²-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是（）

A、4 B、5 C、4或5 D、不能确定

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6. 若a、b是关于x的一元二次方程x²－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（）

A、8 B、7 C、8或7 D、9或8

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7. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；
②若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ 其中正确的（）

A、只有①②④ B、只有①②③ C、①②③④ D、只有①②

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8. 定义：在平面直角坐标系中，对于点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ，当点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 满足 $2 (x_{1} + x_{2}) = y_{1} + y_{2}$ 时，称点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 的“倍增点”，已知点 $P_{1} (1 ， 0)$ ，有下列结论：
①点 $Q_{1} (3 ， 8)$ ， $Q_{2} (- 2 ， - 2)$ 都是点 $P_{1}$ 的“倍增点”；
②若直线 $y = x + 2$ 上的点A是点 $P_{1}$ 的“倍增点”，则点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 4)$ ；
③抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 上存在两个点是点 $P_{1}$ 的“倍增点”；
④若点 $B$ 是点 $P_{1}$ 的“倍增点”，则 $P_{1} B$ 的最小值是 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．
其中，正确结论的个数是（　　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 关于x的方程 $m x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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10. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程 $x^{2} + 2 x + c = 0$ 无实数根，则c的值可以是．

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11. 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a - 2 a b + 2 a b^{2} + 4 = 0$ ，则 $a$ 的最大值与最小值之和为．

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12. 已知等腰三角形 $A B C$ 的一边长 $a = 6$ ，另外两边的长 $b ， c$ 恰好是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (3 k + 3) x + 9 k = 0$ 的两个根，则 $△ A B C$ 的周长为

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三、解答题

13. 已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x²-mx+3m＝0的两根，求m的值．

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14. 已知a，b是整数，关于x的方程x²-ax+3-6=0有两个不相等的实数根，x²+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根，x²+(4-a)x+5-b=0没有实数根，求a，b的值．

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四、综合题

15. 已知关于 $x$ 的方程 $(k + 1) x^{2} + (3 k - 1) x + 2 k - 2 = 0$

(1)、求证：无论 $k$ 取何值，此方程总有实数根；

(2)、若此方程有两个整数根，求正整数 $k$ 的值；

(3)、若一元二次方程 $(k + 1) x^{2} + (3 k - 1) x + 2 k - 2 = 0$ 满足 $| x_{1} - x_{2} | = 3$ ，求 $k$ 的值．

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16. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x²=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.

(1)、根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有：（只填写序号即可）
① ${(x - 1)}^{2} = 9$ ②x²+4x+4=0 ③ $x^{2} + 2 x - 8 = 0$

(2)、关于x的一元二次方程x²-2x=0与x²+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；

(3)、若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.

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2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.3 一元二次方程的根的判别式 同步分层训练培优卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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