2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.3 一元二次方程的根的判别式同步分层训练基础卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若关于x的方程 $x^{2} - x - m = 0$ 有实数根，则实数m的取值的范围是（）

A、 $m < \frac{1}{4}$ B、 $m \leq \frac{1}{4}$ C、 $m \geq - \frac{1}{4}$ D、 $m > - \frac{1}{4}$

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、有一个实数根 D、没有实数根

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3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A、 $x^{2} - 2 = 0$ B、 $2 x^{2} + 1 = 0$ C、 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ . D、 $2 x^{2} + x - 1 = 0$

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4. 小明准备完成题目：解一元二次方程 $x^{2} - 4 x + □ = 0$ ．若“□”表示一个数字，且方程 $x^{2} - 4 x + □ = 0$ 有实数根，则“□”的值可能为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 若一个点的坐标满足 $(k ， 2 k)$ ，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于 $x$ 的二次函数 $y = (t + 1) x^{2} + (t + 2) x + s$ （ $s ， t$ 为常数， $t \neq - 1$ ）总有两个不同的倍值点，则 $s$ 的取值范围是（）

A、 $s < - 1$ B、 $s < 0$ C、 $0 < s < 1$ D、 $- 1 < s < 0$

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6. 若一元二次方程mx²+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）

A、m≥-1 B、m≤1 C、m≥-1且m≠0 D、m≤1且m≠0

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7. 关于x的一元二次方程x²+2ax+a²-1 =0的根的情况是（）

A、没有实数根． B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、实数根的个数与实数a的取值有关

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8. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = (2 a x_{0} + b)^{2}$ ；⑤存在实数 $m ， n (m \neq n)$ ，使得 $a m^{2} + b m + c = a n^{2} + b n + c$ ．
其中正确的（）

A、只有①②④ B、只有①②④⑤ C、①②③④⑤ D、只有①②③

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二、填空题

9. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + k = 0$ 有实数根，则k的取值范围是.

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10. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 根的判别式 $Δ =$ ．

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11. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程 $x^{2} + 2 x + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则c的值可以是．

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 无实数根，则一次函数 $y = m x + m$ 的图形不经过第象限．

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13. 已知关于x的方程mx²+x-1=0有实数根，则m的取值范围是

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三、解答题

14. 等腰三角形三边的长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x²-12x+k+2=0的两根，求k的值．

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15. 关于x的一元二次方程x²-mx+2m-4=0．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一个根为x=1 ，求m的值和另一个根．

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四、综合题

16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (m - 3) x - 3 m = 0$ ．

(1)、证明：无论 $m$ 取何值，此方程必有实数根；

(2)、等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C$ 、 $B C$ 的长是此方程的两个根，求 $m$ 的值．

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17. 阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助 $.$ 所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，则有 $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 3 = 0$ ， $∴ (x - 1)^{2} = 4$ ，解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$ ．
已知 $x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 y + 5 = 0$ ，求 $x$ ， $y$ 的值，则有 $(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) = 0$ ， $∴ (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 0$ ，解得 $x = 1$ ， $y = - 2$ ，
根据以上材料解答下列各题：

(1)、若 $x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13 = 0$ ，求 $(x + y)^{- 2011}$ 的值；

(2)、无论 $a$ 取何值，关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (a - 3) x - a = 0$ 总有两个不相等的实数根；

(3)、解方程： $x^{2} - 360 x + 32000 = 0$ ；

(4)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 表示 $△ A B C$ 的三边长，且 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a c - a b - b c = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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