2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 一元二次方程x²－8x－1＝0配方后可变形为（）

A、（x＋4）²＝17 B、（x＋4）²＝15 C、（x－4）²＝17 D、（x－4）²＝15

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2. 若三角形三边的长均能使代数式 $(x - 6) (x - 3)$ 的值为零，则此三角形的周长是（）

A、9或18 B、12或15 C、9或15或18 D、9或12或15

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3. 用配方法解方程x²﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）²＝b的形式，则a+b的值为（）

A、15 B、7 C、﹣1 D、1

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4. 现定义运算：对于任意实数a，b，都有a★b=a²-3a+b，如：3★5=3²-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（）

A、1 B、4 C、-1或4 D、1或-4

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5. 已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x²-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（）

A、11 B、12 C、11或12 D、15

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6. 已知x，y为实数，且满足 $x^{2} - x y + 4 y^{2} = 4$ ，记 $u = x^{2} + x y + 4 y^{2}$ 的最大值为M，最小值为m，则 $M + m =$ （）.

A、 $\frac{40}{3}$ B、 $\frac{64}{15}$ C、 $\frac{136}{15}$ D、 $\frac{31}{5}$

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7. 用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 $x^{2} - 2 [x] - 3 = 0$ 的解的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 设 $a$ ， $b$ 为实数，多项式 $(x + a) (2 x + b)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $p$ ，多项式 $(2 x + a) (x + b)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $q$ ：若 $p + q = 6$ ，且 $p$ ， $q$ 均为正整数，则（）

A、 $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最大值相等， $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最小值也相等 B、 $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最大值相等， $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最小值不相等 C、 $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最大值不相等， $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最小值相等 D、 $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最大值不相等， $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最小值也不相等

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二、填空题

9. 一元二次方程 $x^{2} ﹣ x ﹣ 1 ＝ 0$ 的根是.

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10. 将一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 3 = 0$ 配方为 ${(x - 3)}^{2} = k$ ，则k的值是．

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11. 若代数式x²-4x+a可化为(x-b)²-1，则a-b=.

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12. 已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m - n^{2} = 1$ ，则代数式 $m^{2} + 2 n^{2} + 4 m - 1$ 的最小值等于.

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13.

(1)、代数式-9x²+18x+20的最大值是.

(2)、代数式x²+4y²+4x+12y+29的最小值是．

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三、解答题

14. 若关于x的方程(1-m²)x²+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，求实数m的取值范围．

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15. 王老师提出问题：求代数式x²+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x²+4x+5＝x²+4x+2²-2²+5＝（x+2）²+1，
∵（x+2）²≥0，∴（x+2）²+1≥1．
当（x+2）²＝0时，（x+2）²+1的值最小，最小值是1．
∴x²+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)、直接写出（x-1）²+3的最小值为．

(2)、求代数式x²+10x+32的最小值．

(3)、你认为代数式 $- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 5$ 有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．

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四、综合题

16. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求 $a^{2} + 6 a + 8$ 的最小值．
解： $a^{2} + 6 a + 8 = a^{2} + 6 a + 3^{2} - 3^{2} + 8 = (a + 3)^{2} - 1$ ，因为不论a取何值， $(a + 3)^{2}$ 总是非负数，即 $(a + 3)^{2} \geq 0$ ．

所以 $(a + 3)^{2} - 1 \geq - 1$ ，所以当 $a = - 3$ 时， $a^{2} + 6 a + 8$ 有最小值 $- 1$ ．

根据上述材料，解答下列问题：

(1)、在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： $a^{2} + 14 a +$ ；

(2)、将 $x^{2} - 10 x + 27$ 变形为 $(x - m)^{2} + n$ 的形式，并求出 $x^{2} - 10 x + 27$ 的最小值；

(3)、若代数式 $N = - a^{2} + 8 a + 1$ ，试求N的最大值．

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17. 【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式 $A 、 B$ 的大小，只要算 $A - B$ 的值，若 $A - B > 0$ ，则 $A > B$ ；若 $A - B = 0$ ，则 $A = B$ ；若 $A - B < 0$ ，则 $A < B$ ．

(1)、【知识运用】
请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：①当 $x > y$ 时， $3 x + 5 y$ $2 x + 6 y$ ；②若 $a < b < 0$ ，则 $a^{3}$ $a b^{2}$ ；

(2)、试比较 $5 x^{2} + 4 x - 3$ 与 $2 (3 x^{2} + x + 1)$ 的大小，并说明理由；

(3)、【拓展运用】
甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校 $s (k m)$ 的研学基地参加研学．甲班有一半路程以 $v_{1} (k m / h)$ 的速度行进，另一半路程以 $v_{2} (k m / h)$ 的速度行进；乙班有一半时间以 $v_{1} (k m / h)$ 的速度行进，另一半时间以 $v_{2} (k m / h)$ 的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为 $t_{1} (h)$ ， $t_{2} (h)$ ．
①试用含 $s$ ， $v_{1}$ ， $v_{2}$ 的代数式分别表示 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ ，则 $t_{1} =$ ▲ ， $t_{2} =$ ▲ ．
②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由．

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2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练培优卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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