2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法同步分层训练基础卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x = 2$ 时，配方后正确的是（）

A、 $(x + 1)^{2} = 3$ B、 $(x + 1)^{2} = 6$ C、 $(x - 1)^{2} = 3$ D、 $(x - 1)^{2} = 6$

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2. 方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的两个根为（）

A、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = - 3$

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3. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，配方后得到的方程是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 6$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 4$

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4. 把 $x^{2} - 5 x = 31$ 配方，需在方程的两边都加上（）

A、 $5$ B、 $25$ C、 $2.5$ D、 $\frac{25}{4}$

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5. 下列用配方法解方程 $\frac{1}{2}$ x²-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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6. 用配方法解方程x²-2x=2时，配方后正确的是（）

A、（x+1）²=3 B、（x+1）²=6 C、（x-1）²=3 D、（x-1）²=6

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7. 用配方法解方程 $4 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 时，配方结果正确的是（）．

A、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$ B、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{3}{16}$ D、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{5}{16}$

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8. 小华仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程 $x^{3} + 12 x - 15 x - 1 = 0$ 的解，列表如下：
x
0
0.5
1
1.5
2
$x^{3} + 12 x - 15 x - 1$
－1
－5.375
－3
6.875
25
据此可知，方程 $x^{3} + 12 x - 15 x - 1 = 0$ 的一个解x的取值范围是（）

A、 $0 < x < 0.5$ B、 $0.5 < x < 1$ C、 $1 < x < 1.5$ D、 $1.5 < x < 2$

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二、填空题

9. 方程 ${(x + 1)}^{2} = 9$ 的根是.

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10. 已知x²-8x+18＝（x-m）²+2，则m＝．

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11. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 配方为 ${(x - 2)}^{2} = k$ ，则k的值是.

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12. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b＝a（a﹣b），根据这个规则，方程（x+2）*5＝0 的解为．

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13. 已知 $y \neq 0$ ，且 $3 x^{2} - 2 x y - 8 y^{2} = 0$ ，求 $\frac{x}{y} =$ ．

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三、解答题

14. 若a，b，c表示△ABC的三边，且a²+b²+c²-ac-ab-bc=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．

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15.

(1)、知识背景：利用配方法解一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，可以得到一元二次方程的求根公式.—般地，对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，当 $b^{2} - 4 a c ≥ 0$ 时，它的求根公式是 $x =$ ，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.

(2)、小明在用公式法解方程 $x^{2} - 5 x = 1$ 时出现了错误，解答过如下：
∵ $a = 1$ ， $b = - 5$ ， $c = 1$ ，（第一步）
∴ $b^{2} - 4 a c = {(- 5)}^{2} - 4 \times 1 \times 1 = 21$ .（第二步）
∴ $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ .（第三步）
∴ $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ .（第四步）
小明的解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是.

(3)、请你写出此题正确的解答过程.

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四、综合题

16. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的多项式变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如 $x^{2} + 4 x - 5 = x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 5 = {(x + 2)}^{2} - 9$ $= (x + 2 + 3) (x + 2 - 3) = (x + 5) (x - 1)$
根据以上材料，解答下列问题．

(1)、分解因式： $x^{2} + 2 x - 8$ ；

(2)、求多项式 $x^{2} + 4 x - 3$ 的最小值

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17. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式 $x^{2} + b x + c$ 变形为 $(x + m)^{2} + n$ 的形式，然后由 $(x + m)^{2} \geq 0$ 就可求出多项式 $x^{2} + b x + c$ 的最小值．
例题：求 $x^{2} - 12 x + 37$ 的最小值．
解： $x^{2} - 12 x + 37 = x^{2} - 2 x \cdot 6 + 6^{2} - 6^{2} + 37 = (x - 6)^{2} + 1$ ；
因为不论 $x$ 取何值， $(x - 6)^{2}$ 总是非负数，即 $(x - 6)^{2} \geq 0$ ；
所以 $(x - 6)^{2} + 1 \geq 1$ ；
所以当 $x = 6$ 时， $x^{2} - 12 x + 37$ 有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：

(1)、填空： $x^{2} - 8 x + 18 = x^{2} - 8 x + 16 +$ $= (x -$ $)^{2} + 2$ ；

(2)、将 $x^{2} + 16 x - 5$ 变形为 $(x + m)^{2} + n$ 的形式，并求出 $x^{2} + 16 x - 5$ 的最小值；

(3)、如上图所示的第一个长方形边长分别是 $2 a + 5$ 、 $3 a + 2$ ，面积为 $S_{1}$ ；如图所示的第二个长方形边长分别是 $5 a$ 、 $a + 5$ ，面积为 $S_{2}$ ，试比较 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小，并说明理由．

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x	0	0.5	1	1.5	2
$x^{3} + 12 x - 15 x - 1$	－1	－5.375	－3	6.875	25

2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练基础卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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