2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 16.2 二次根式的运算同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列二次根式中，能与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{24}$

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2. 定义一种新运算“ $△$ ”， $a △ b = a^{2} - a b$ ，则 $\sqrt{2} △ 1$ 的值为（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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3. 若 $x = \sqrt{5} - 3$ ，则 $\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $5$ C、 $\sqrt{5} + 3$ D、 $2$

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4. 已知 $m = (- \frac{\sqrt{3}}{3}) \times (- 2 \sqrt{30})$ ，若a，b为两个连续的整数，且 $a < m < b$ ，则 $a + b =$ （）

A、13 B、14 C、12 D、11

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5. 计算（3 $\sqrt{2}$ -2 $\sqrt{3}$ ）（ $\sqrt{12}$ + $\sqrt{18}$ ）的结果是（　）

A、6 B、12 C、15 D、30

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6. 计算 $4 \sqrt{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

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7. 已知x为实数，化简 $\sqrt{- x^{3}} - x \sqrt{- \frac{1}{x}}$ 的结果为（　　）

A、 $(x - 1) \sqrt{- x}$ B、 $(- 1 - x) \sqrt{- x}$ C、 $(1 - x) \sqrt{- x}$ D、 $(1 + x) \sqrt{- x}$

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8. 对于任意实数m，n，若定义新运算 $m \otimes n = {\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) ， \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) \end{array}$ ，给出三个说法：
① $18 \otimes 2 = 2 \sqrt{2}$ ；② $\frac{1}{1 \otimes 2} + \frac{1}{2 \otimes 3} + \frac{1}{3 \otimes 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{99 \otimes 100} = 100 \otimes 1$ ；③ $(a \otimes b) \cdot (b \otimes a) = | a - b |$ ．
以上说法中正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

9. 若x²+y²=1，则 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + \sqrt{x y - 2 x + y - 2}$ 的值为

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10. 对于任意两个不相等的正数 $a$ ， $b$ ，定义一种运算 $※$ ， $a ※ b = \frac{a - b}{\sqrt{a + b}}$ ，例如 $5 ※ 2 = \frac{5 - 2}{\sqrt{5 + 2}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ ，则 $9 ※ 3 =$ ．

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11. 若 $x = \sqrt{5} + 1$ ， $y = \sqrt{5} - 1$ ，则 $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ 的值为．

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12. 已知x₁= $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ ，x₂= $\sqrt{3}$ ﹣ $\sqrt{2}$ ，则x₁²+x₂²= ．

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13. 计算（ $\sqrt{2}$ +1）²⁰¹⁵（ $\sqrt{2}$ ﹣1）²⁰¹⁴=

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三、解答题

14. 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足 $a + \sqrt{2} b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，求 $b^{a}$ 的值？

解：由题意得： $(a - 3) + (b + 2) \sqrt{2} = 0$ ，

因为a、b都是有理数，

所以a-3、b+2也是有理数，

由于 $\sqrt{2}$ 是无理数，

所以a-3＝0、b+2＝0，

所以a＝3、b＝-2，

所以 $b^{a} = {(- 2)}^{3} = - 8$ ，

问题：设x、y都是有理数，且满足 $x^{2} - 2 y + \sqrt{5} y = 8 + 4 \sqrt{5}$ ，求x+y的值，

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四、综合题

15. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．

(1)、求直线l的函数解析式；

(2)、若点 $(\frac{1}{t} ， t)$ 在直线l上，求代数式 $t^{4} + \frac{1}{t^{4}}$ 的值．

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16. 阅读材料并解决问题： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，像上述解题过程中， $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} =$ ；若n为正整数，请你猜想 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ．

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}) \times (\sqrt{2022} + 1)$ ；

(3)、计算： $(\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{\sqrt{2024} + \sqrt{2022}}) \times (\sqrt{2024} + 1)$ ．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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